Ce que les preuves révèlent sur les possibilités des mathématiques

L'une des grandes découvertes des mathématiques du 20e siècle a été que tout litige sur la validité d'une preuve mathématique peut toujours être tranché. C'est ce qu'écrit le mathématicien et chevalier anglais Sir Timothy Gowers dans son livre accessible à tous "Mathématiques".

La raison en est qu'il est toujours possible de diviser chaque argument mathématique en étapes partielles encore plus petites, ce qui permet d'obtenir à chaque fois des affirmations encore plus clairement valables. De cette manière, toute discussion sur un procédé de preuve doit en principe aboutir à une fin.

Il existe cependant des preuves très longues et compliquées ou des problèmes entièrement non résolus pour lesquels la plupart des mathématiques ne peuvent pas non plus indiquer avec une certitude absolue si la longue cha?ne d'étapes partielles ne contient pas une erreur quelque part ou si elle arrive même un jour à une fin.

Alors pourquoi la recherche mathématique n'est-elle pas impossible pour autant ? Mercredi, Timothy Gowers sera à l'ETH Zurich pour répondre à cette question dans le cadre des conférences Wolfgang Pauli de cette année (voir encadré).

Ne pas avoir peur des grandes questions

Gowers est professeur de mathématiques à Cambridge et a marqué de son empreinte différents domaines des mathématiques - en particulier la théorie des espaces dits de Banach et la combinatoire. En 1998, il a re?u une médaille Fields à Berlin pour ses remarquables solutions à des problèmes mathématiques posés en partie dès les années 1930 par le mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).

Gowers est connu pour sa capacité à faire partager des idées mathématiques à un public non spécialisé. En 2012, il a été fait chevalier pour les services qu'il a rendus aux mathématiques.

Timothy Gowers ne craint pas les grands problèmes non résolus. Au contraire : selon lui, la recherche mathématique se caractérise en grande partie par le fait qu'elle se consacre à des problèmes non résolus et particulièrement difficiles. Il se penche également sur une question controversée : les ordinateurs peuvent-ils mieux résoudre les problèmes mathématiques les plus difficiles - ou les démonstrations compliquées sont-elles exclusivement réservées à l'homme ?

La machine à calculer et nous

Dans son cours à l'ETH, il aborde le problème selon lequel il est assez difficile pour les ordinateurs de déterminer si une affirmation mathématique donnée peut réellement être prouvée. Finalement, il n'existe pas d'algorithme général, c'est-à-dire de règle, qui permette de résoudre ce problème en un nombre fini d'étapes bien définies et d'y répondre de manière définitive.

Même si l'on restreint spécifiquement le problème aux preuves qui n'ont qu'une certaine longueur maximale, il n'est toujours pas certain qu'un algorithme puisse trouver une preuve en un temps raisonnable. En comparaison, selon Gowers, les humains parviennent toujours, d'une manière ou d'une autre, à produire des preuves longues et complexes.

L'esprit humain est-il donc finalement supérieur à l'ordinateur ? Dans sa conférence Wolfgang Pauli, Gowers affirmera qu'il est possible de résoudre cet apparent paradoxe sans faire appel à une mystérieuse propriété du cerveau humain qu'aucun ordinateur ne pourra jamais imiter.

Dans le livre de mathématiques en question, Gowers défend l'idée qu'au cours des cent prochaines années, les ordinateurs feront de plus en plus ce que seuls les mathématiciens peuvent faire aujourd'hui, et que les machines finiront par nous remplacer, nous les humains.

Aux frontières du calcul et de la preuve

Dans le détail, il s'agit des possibilités et des limites de la méthode algorithmique et de questions spécifiques à la théorie dite de la calculabilité et à la théorie de la preuve - deux domaines de recherche qui concernent aussi bien les mathématiques que la logique et l'informatique.

"Personnellement, je suis curieux de voir avec quelles nouvelles idées sur ces deux théories Gowers veut surprendre le public", déclare Rahul Pandharipande, professeur de mathématiques à l'ETH et h?te des conférences Wolfgang Pauli de cette année.

Il se pourrait que la réponse ne réside pas dans une opposition entre les hommes et les ordinateurs, mais dans une répartition des t?ches ? Sur son blog de mathématiques "page externeLe weblog de Gowers. Discussions liées aux mathématiques"En 2009, Gowers a en tout cas appelé à ce que de très nombreux mathématiciens se regroupent en ligne et coopèrent entre eux de manière informelle afin de trouver la meilleure fa?on de résoudre des problèmes mathématiques particulièrement difficiles. Le projet Polymath a effectivement donné de nouveaux résultats.

Dans son livre de vulgarisation scientifique, Gowers répond à la question : "Comment la recherche en mathématiques est-elle possible ?" par le fait que les problèmes mathématiques devraient être juste assez difficiles pour laisser encore une lueur d'espoir d'être réellement solubles.