Ce qui unit les mathématiques

Un bosquet. Des cannes de bambou à gauche et à droite. Bien alignés parallèlement les uns aux autres. Au loin, elles convergent l'une vers l'autre et semblent tendre vers un point commun. Se touchent-ils quelque part ?

Cette image a été choisie par le mathématicien de Harvard Barry Mazur comme motif des conférences Paul Bernays qu'il donnera à l'ETH Zurich les 11 et 12 septembre 2018. "Si l'on regarde les choses sous la 'bonne' perspective, des modèles forts peuvent appara?tre", explique l'Américain à ce sujet.

Barry Mazur est un mathématicien polyvalent et créatif : "Il a abordé un spectre impressionnant de mathématiques", dit Giovanni Sommaruga, "à partir de ses travaux, on pourrait écrire une bonne partie de l'histoire des mathématiques de la deuxième moitié du XXe siècle". Sommaruga est l'organisateur des cours Paul-Bernays et membre du comité consultatif qui a invité Barry Mazur.

Comme une ville aux quartiers florissants

Mazur a d'abord fait de la recherche dans le domaine de la topologie et des thèmes apparentés. De là, il s'est dirigé vers la géométrie algébrique et la théorie des nombres. Parallèlement, il s'intéresse aux questions historiques et philosophiques de sa discipline. En témoignent les livres "Imagining Numbers (particularly the square root of minus fifteen)" et "Circles Disturbed - The Interplay of Mathematics and Narrative", qui traite de la relation entre les mathématiques et le récit ainsi que du r?le des histoires dans le savoir mathématique.

A Zurich, Mazur présente ses réflexions sur le thème "L'unité et l'étendue des mathématiques - de Diophante à nos jours" et se penche sur la question de savoir dans quelle mesure les mathématiques représentent aujourd'hui une unité et dans quelle mesure ou dans quel but différents sous-domaines ou théories peuvent être unifiés.

"La diversité et la variété des sous-disciplines mathématiques sont énormes, et semblent même s'accro?tre au cours de l'histoire des mathématiques. De ce point de vue, la question de leur unité reste un défi permanent pour les mathématiques et leur philosophie", déclare Sommaruga, qui est enseignant en philosophie des sciences formelles à l'ETH.

On pourrait résumer les mathématiques à l'image d'une ville : Ses sous-domaines seraient des quartiers florissants, chacun avec son architecture, son langage et ses règles. S'interroger sur leur unité reviendrait à se demander si les différents quartiers forment vraiment un ensemble urbain cohérent.

Les fondements communs de la discipline sont explorés par la philosophie des mathématiques. L'ouvrage en deux volumes "Grundlagen der Mathématiques", publié en 1934 et 1939 par Paul Bernays (1888-1977), ancien professeur de mathématiques supérieures à l'ETH et qui a donné son nom aux cours d'honneur Bernays, est un classique à cet égard.

"Je considère les 'Fondements' comme l'un des grands pas d'unification dans l'histoire des mathématiques récentes", dit Mazur, pour qui cet ouvrage est un encouragement, "car le livre soulève la question générale : Que peut-on dire des forces unificatrices qui organisent notre discipline ?"

Momentum du progrès de la connaissance

Enfin, et ce n'est pas le moins important, des connaissances essentielles sont acquises lorsque l'on peut établir des liens nouveaux et surprenants entre des domaines partiels apparemment éloignés les uns des autres et les assembler. "Il existe des 'analogies' extrêmement profondes qui relient entre eux des domaines très différents des mathématiques", explique Mazur.

"Aujourd'hui, les mathématiciens tentent de relier de grands domaines mathématiques - chacun avec sa propre intuition - en de grandes synthèses qui, une fois reliées par une analogie, possèdent une force intuitive qu'aucun domaine pris isolément ne peut atteindre."

Mazur a lui-même fait l'expérience de la manière dont un nouveau domaine de recherche peut na?tre lorsqu'on parvient à établir un lien entre des sujets auparavant séparés : Ses observations dans les années 1960 sur les analogies entre les nombres premiers et les n?uds ont conduit au domaine de la topologie arithmétique, lorsque d'autres mathématiciens ont repris ses travaux dans les années 1990.

Un exemple cité par Mazur, que d'aucuns considèrent comme la "Grande théorie unifiée des mathématiques", est le programme de Langlands, dont l'auteur, Robert Langlands, a re?u cette année le prix Abel. Ce programme étudie les relations entre différents domaines des mathématiques tels que l'algèbre, la géométrie, la théorie des nombres, l'analyse et la physique quantique.

Langlands et le souffle de l'histoire

Langlands lui-même a établi un lien entre la théorie des nombres et l'analyse harmonique, qui traite des oscillations. Les courbes elliptiques, gr?ce auxquelles le mathématicien britannique Andrew Wiles a réussi à démontrer le grand théorème de Fermat en 1994, en sont un exemple. Celle-ci est considérée comme un point culminant de l'histoire des mathématiques du 20e siècle, après que les théoriciens des nombres s'y soient cassés les dents pendant 350 ans. Barry Mazur a quant à lui - parmi d'autres - fourni un travail préparatoire important pour la preuve.

La preuve a confirmé l'intuition de Pierre de Fermat (1607-1665) selon laquelle l'équation aⁿ + bⁿ = cⁿ n'a pas de solutions entières positives lorsque n est supérieur à 2. Le problème remonte à l'Antiquité, à la question de savoir s'il existe des triangles rectangles dont toutes les longueurs des c?tés sont des nombres entiers. Diophante d'Alexandrie (vers 250 après J.-C.) a été le premier à établir un lien entre l'algèbre et la géométrie et à montrer qu'il existe une infinité de triplets de nombres composés chacun de trois entiers a, b et c, de sorte que l'équation a² + b² = c² s'applique.

"La théorie des nombres est très fortement liée à ses précurseurs, qui remontent aux mathématiques de la Grèce antique. La philosophie et l'histoire des mathématiques indiquent des directions profondes qui servent d'inspiration pour les poursuivre", conclut Mazur.