Existe-t-il des réponses définitives à des questions indécidables ?

Par essence, les mathématiques sont une science rigoureuse qui cherche et produit des vérités en principe définitives et universelles. Néanmoins, les mathématiques connaissent encore quelques énigmes à leurs extrémités, qu'elles ne peuvent pas résoudre de manière univoque et sans contradiction. Le chemin que les mathématiques empruntent pour les résoudre est essentiellement marqué par leur imagination et leur attitude philosophique.

Avec les Paul Bernays Lectures, l'ETH Zurich offre chaque année une scène où sont abordés les aspects philosophiques des sciences exactes. Cette année, le logicien et théoricien des ensembles Hugh Woodin de l'Université de Harvard présente ses idées sur les problèmes insolubles et la nature de l'infini.

En tant que chercheur, Hugh Woodin s'intéresse aux fondements des mathématiques et à la manière dont les mathématiques dans leur ensemble peuvent être construites et justifiées logiquement. Comme tous les problèmes mathématiques peuvent être saisis et représentés sous forme d'ensembles, la théorie des ensembles est aujourd'hui considérée comme le fondement logique des mathématiques.

Des infinis de différentes tailles

Comme toutes les théories mathématiques, la théorie des ensembles se fonde sur des axiomes. Ce sont des principes aussi simples que possible et acceptés comme vrais, à partir desquels toutes les autres propositions vraies peuvent être déduites sans contradiction, et qui doivent former ensemble un ensemble (système) aussi complet et exempt de contradictions que possible.

Pour les nombres naturels (0,1,2,3,4,5,6, etc.), un système standard appelé ZFC s'est imposé. Il remonte à Ernst Zermelo (1871-1953) et Abraham Fraenkel (1891-1965) et comprend aujourd'hui neuf axiomes. Le système d'axiomes ZFC est la base de la théorie des ensembles et donc pour les mathématiques dans leur ensemble.

Au c?ur de l'?uvre de Hugh Woodin se trouve la confrontation avec l'une des plus grandes énigmes de la théorie des ensembles : à savoir l'hypothèse dite du continuum. Georg Cantor (1845-1918), le fondateur de la théorie des ensembles, a été le premier à émettre cette hypothèse en relation avec la notion d'infini.

En 1878, il avait découvert que même les ensembles comportant un nombre infini d'éléments pouvaient être de tailles différentes. Il a par exemple prouvé que l'ensemble des nombres réels (par ex. 7, -51, 10⁶, 5/9, 2.4137, √3, π, etc.), que Richard Dedekind avait introduit dans les mathématiques en 1858 à l'ETH Zurich, est "encore beaucoup plus infini" que l'ensemble des nombres naturels. En même temps, il supposait qu'il ne pouvait pas y avoir d'autre infini entre ces deux infinis. Il n'a toutefois pas pu prouver son hypothèse, et la situation s'est même aggravée au 20e siècle.

Insoluble - ni prouvé ni réfuté

Tout d'abord, Kurt G?del (1906-1978) a prouvé que l'hypothèse du continuum était cohérente, c'est-à-dire non contradictoire, avec le système axiomatique ZFC. Ensuite, Paul Cohen (1934-2007) a réussi à prouver que la négation de l'hypothèse du continuum est également cohérente avec ZFC. Cela signifie tout simplement que l'on ne peut ni prouver ni réfuter l'hypothèse du continuum avec les axiomes de la théorie des ensembles. C'est pourquoi l'hypothèse du continuum est indécidable en ZFC et donc un problème insoluble.

G?del et Cohen ont tous deux développé des techniques qui pourraient conduire à la résolution du problème, et Hugh Woodin est l'un de ceux qui ont hérité de leur héritage. Gr?ce à ces deux techniques, il a obtenu des succès intermédiaires sur la voie d'une solution définitive.

Hugh Woodin a d'abord travaillé avec la technique de for?age de Cohen, qui permet d'étendre les modèles de la théorie des ensembles en y ajoutant certaines affirmations de base et de créer ou d'exclure des ensembles ayant certaines propriétés. Il a ainsi tenté d'étendre les axiomes ZFC et de réfuter l'hypothèse du continuum. Entre-temps, Woodin travaille toutefois avec un modèle plus proche du "modèle constructible L" de G?del, dans lequel l'hypothèse du continuum s'applique. Un modèle pour ZFC est une structure qui satisfait à tous les axiomes de ZFC.

Un vrai modèle ou plusieurs beaux ?

Sur la question de savoir comment étendre les axiomes ZFC, les avis des théoriciens des ensembles divergent fortement. Certains suivent Woodin et espèrent, avec des axiomes supplémentaires, trouver finalement le "bon" modèle de la théorie des ensembles. D'autres essaient d'ajouter ou de supprimer des axiomes à ZFC à l'aide de la méthode de for?age, afin de construire différents modèles de théorie des ensembles.

Le logicien et théoricien des ensembles Lorenz Halbeisen travaille avec la méthode du for?age. Le privat-docent de l'ETH Zurich introduira l'?uvre de Hugh Woodin lors des Bernays Lectures du 14 septembre 2016. "Je suis fasciné par la richesse du système d'axiomes ZFC et par les modèles de théorie des ensembles qu'il permet de construire".

Contrairement à Hugh Woodin, Lorenz Halbeisen ne cherche pas un modèle idéal et juste de la théorie des ensembles, il est davantage attiré par "la manière dont les mathématiques changent quand on ajoute ou enlève un axiome, et que l'on peut ainsi obtenir différentes théories des ensembles ou différents types de mathématiques".

Halbeisen reconna?t toutefois que pour les chercheurs qui, comme Woodin, considèrent la théorie des ensembles comme le fondement des mathématiques, il n'est guère logique d'avoir différents modèles de mathématiques, "car cela signifie aussi que l'ensemble des mathématiques est, dans une certaine mesure, arbitraire".explique Halbeisen, "mais pour ceux qui, comme moi, considèrent la théorie des ensembles comme une partie des mathématiques, c'est précisément cela qui est passionnant, le fait de pouvoir comparer différents modèles et d'examiner les limites d'un système axiomatique."