Cosa dicono le prove sulle possibilità della matematica

Una delle grandi scoperte della matematica del XX secolo è stata che qualsiasi controversia sulla validità di una prova matematica può sempre essere risolta. ? quanto scrive il matematico e cavaliere inglese Sir Timothy Gowers nel suo libro universalmente comprensibile "Mathematics".

Il motivo è che ogni argomento matematico può sempre essere scomposto in sottopassi ancora più piccoli, ottenendo ogni volta affermazioni ancora più chiaramente valide. In questo modo, in linea di principio, ogni argomentazione su una procedura di dimostrazione deve alla fine giungere a una conclusione.

Tuttavia, ci sono prove molto lunghe e complicate o problemi completamente irrisolti per i quali anche la maggior parte dei matematici non può affermare con assoluta certezza se la lunga catena di passi parziali non contenga un errore da qualche parte o se arriverà mai alla fine.

Perché la ricerca matematica non è ancora impossibile? Mercoledì Timothy Gowers verrà all'ETH di Zurigo per rispondere a questa domanda nell'ambito delle Wolfgang Pauli Lectures di quest'anno (vedi box).

Nessuna paura delle grandi domande

Gowers è professore di matematica a Cambridge e ha lasciato il segno in diverse aree della matematica, in particolare nella teoria dei cosiddetti spazi di Banach e nella combinatoria. Nel 1998 gli è stata conferita la medaglia Fields a Berlino per le sue notevoli soluzioni a problemi matematici, alcuni dei quali erano stati posti dal matematico polacco Stefan Banach (1892-1945) già negli anni Trenta.

Gowers è noto per la sua capacità di coinvolgere un pubblico non specializzato con le idee matematiche. Nel 2012 è stato nominato cavaliere per i suoi servizi alla matematica.

Timothy Gowers non si sottrae ai grandi problemi irrisolti. Al contrario: secondo lui, la ricerca matematica è in gran parte caratterizzata dal fatto che si dedica a problemi irrisolti e particolarmente difficili. L'autore affronta anche la questione, non priva di controversie: i computer possono risolvere meglio i problemi matematici più difficili o le prove complicate sono appannaggio esclusivo dell'uomo?

La macchina calcolatrice e noi

Nella sua conferenza al Politecnico di Zurigo, Timothy Gowers affronta il problema della difficoltà per i computer di determinare se una certa affermazione matematica possa essere realmente dimostrata. Non esiste infatti un algoritmo generale, cioè una regola, che possa risolvere e risolvere definitivamente questo problema in un numero finito di singoli passi ben definiti.

Anche se si limita il problema a prove che hanno solo una certa lunghezza massima, non è ancora certo che un algoritmo possa trovare una prova in un tempo ragionevole. In confronto, dice Gowers, gli esseri umani riescono sempre a produrre prove lunghe e complesse.

La mente umana è dunque superiore al computer? Nella sua Wolfgang Pauli Lecture, Gowers sosterrà che questo apparente paradosso può essere risolto senza dover fare appello a una misteriosa proprietà del cervello umano che nessun computer sarà mai in grado di imitare.

Nel libro di matematica in questione, Gowers sostiene che nei prossimi cento anni circa i computer saranno in grado di fare sempre più cose che oggi possono fare solo i matematici, e che le macchine finiranno per sostituire noi umani.

Ai limiti del calcolo e della prova

Nel dettaglio, si tratta delle possibilità e dei limiti del metodo algoritmico e di questioni specifiche della cosiddetta teoria della computabilità e della teoria delle prove - due aree di ricerca che riguardano la matematica così come la logica e l'informatica.

"Personalmente, sono curioso di vedere quali nuove idee su queste due teorie Gowers vuole sorprendere il pubblico", dice Rahul Pandharipande, l'ETH Professor di matematica e ospite delle Wolfgang Pauli Lectures di quest'anno.

La risposta potrebbe risiedere non in una contrapposizione tra uomini e computer, ma in una divisione del lavoro? Sul suo blog di matematica "pagina esternaWeblog di Gowers. Discussioni relative alla matematica"Nel 2009, Gowers ha invitato un gran numero di matematici a unire le forze online e a cooperare in modo informale tra loro per trovare il modo migliore di risolvere problemi matematici particolarmente difficili. Il progetto Polymath ha effettivamente fornito nuovi risultati.

Nel suo libro di divulgazione scientifica, Gowers risponde alla domanda: "Come è possibile la ricerca in matematica?" dicendo che i problemi matematici dovrebbero essere abbastanza difficili da lasciare un barlume di speranza che possano davvero essere risolti.