Cosa unisce la matematica

Un boschetto. Canne di bambù a destra e a sinistra. Splendidamente allineate parallelamente l'una all'altra. In lontananza, corrono l'una verso l'altra e sembrano tendere verso un punto comune. Si toccano da qualche parte?

Questa immagine è stata scelta dal matematico di Harvard Barry Mazur come tema per le Paul Bernays Lectures, che terrà all'ETH di Zurigo l'11 e il 12 settembre 2018. "Se si guardano le cose dalla prospettiva 'giusta', possono emergere forti modelli", afferma l'americano.

Barry Mazur è un matematico versatile e creativo: "Ha coperto uno spettro impressionante di matematica", dice Giovanni Sommaruga, "si potrebbe scrivere una buona parte della storia della matematica della seconda metà del XX secolo basandosi sul suo lavoro". Sommaruga è l'organizzatore delle Paul Bernays Lectures e un membro del comitato consultivo che ha invitato Barry Mazur.

Come una città con quartieri fiorenti

Mazur ha inizialmente svolto attività di ricerca nel sottocampo della topologia e in argomenti correlati. Da lì è passato alla geometria algebrica e alla teoria dei numeri. Si è interessato anche alle questioni storiche e filosofiche della sua disciplina. I suoi libri "Imagining Numbers (particularly the square root of minus fifteen)" e "Circles Disturbed - The Interplay of Mathematics and Narrative", che tratta del rapporto tra matematica e narrativa e del ruolo delle storie per la conoscenza della matematica, ne sono la prova.

A Zurigo, Mazur presenta le sue riflessioni sul tema "L'unità e l'ampiezza della matematica - da Diofanto a oggi" ed esplora la questione della misura in cui la matematica oggi rappresenta un'unità e in che misura o per quale scopo diversi sottocampi o teorie possono essere unificati.

"La varietà e la diversità delle sottodiscipline matematiche è enorme e sembra essere aumentata ancora di più nel corso della storia della matematica. Per questo motivo, la questione della loro unità rimane una sfida costante per la matematica e la sua filosofia", afferma Sommaruga, docente di filosofia delle scienze formali all'ETH.

Si potrebbe riassumere la matematica con l'immagine di una città: I suoi sottocampi sarebbero quartieri fiorenti, ognuno con le proprie architetture, linguaggi e regole. Interrogarsi sulla loro unità significherebbe chiedersi se i singoli quartieri formino davvero un paesaggio urbano coerente.

La filosofia della matematica esplora i fondamenti comuni della materia. Un classico in questo senso è l'opera in due volumi "Fondamenti della matematica", pubblicata nel 1934 e nel 1939 da Paul Bernays (1888-1977), ex professore di matematica superiore dell'ETH e omonimo delle Bernays Lectures.

"Vedo i 'Grundlagen' come uno dei grandi passi unificanti nella storia della matematica moderna", dice Mazur, che si ispira a quest'opera, "perché il libro solleva la domanda generale: Che cosa si può dire delle forze unificanti che organizzano la nostra materia?".

Momento di progresso nella conoscenza

Infine, ma non per questo meno importante, si ottengono importanti intuizioni quando si possono creare nuove e sorprendenti connessioni tra sottoaree apparentemente disparate e riunirle. "Ci sono 'analogie' estremamente profonde che collegano aree molto diverse della matematica", afferma Mazur.

"Oggi i matematici cercano di combinare grandi campi matematici - ognuno con la propria intuizione - in grandi sintesi che, una volta collegate da un'analogia, hanno un potere intuitivo che non può essere raggiunto da nessun singolo campo da solo."

Mazur ha sperimentato di persona come un nuovo campo di ricerca possa emergere quando si crea un collegamento tra argomenti precedentemente separati: Le sue osservazioni degli anni Sessanta sulle analogie tra numeri primi e nodi hanno portato al campo della topologia aritmetica quando altri matematici hanno ripreso il suo lavoro negli anni Novanta.

Un esempio che Mazur cita, e a cui molti si riferiscono come alla "grande teoria unificata della matematica", è il programma Langlands, il cui ideatore, Robert Langlands, è stato insignito quest'anno del Premio Abel. Il programma studia le relazioni tra diverse aree della matematica come l'algebra, la geometria, la teoria dei numeri, l'analisi e la fisica quantistica.

Langlands e il respiro della storia

Lo stesso Langlands ha stabilito un legame tra la teoria dei numeri e l'analisi armonica, che si occupa di oscillazioni. Un esempio sono le curve ellittiche, grazie alle quali il matematico britannico Andrew Wiles è riuscito a dimostrare il teorema di Fermat nel 1994. Questo è considerato un punto culminante nella storia della matematica del XX secolo, dopo che i teorici dei numeri avevano passato 350 anni a cercare di dimostrarlo. Da parte sua, Barry Mazur - tra gli altri - ha svolto un importante lavoro preliminare per la dimostrazione.

La dimostrazione confermò l'intuizione di Pierre de Fermat (1607-1665) secondo cui l'equazione aⁿ + bⁿ = cⁿ non ha soluzioni intere positive se n è maggiore di 2. Il problema risale all'antichità, alla domanda se esistano triangoli rettangoli in cui tutti i lati siano interi. Diofanto di Alessandria (intorno al 250 d.C.) fu il primo a stabilire un legame tra algebra e geometria e dimostrò che esiste un numero infinito di triplette di tre numeri interi a, b e c, in modo che l'equazione a² + b² = c² si applica.

"La teoria dei numeri è molto legata ai suoi precursori, che risalgono all'antica matematica greca. La filosofia e la storia della matematica indicano direzioni profonde che servono da ispirazione per proseguire", conclude Mazur.