Esistono risposte definitive a domande indecidibili?

Per sua natura, la matematica è una scienza rigorosa che in linea di principio cerca e produce verità definitive e universalmente valide. Tuttavia, la matematica ha ancora alcuni enigmi ai suoi margini che non può risolvere in modo univoco e senza contraddizioni. Il percorso che la matematica intraprende verso la soluzione è caratterizzato essenzialmente dalla sua immaginazione e dal suo atteggiamento filosofico.

Con le Paul Bernays Lectures, l'ETH di Zurigo offre ogni anno un palcoscenico in cui vengono discussi gli aspetti filosofici delle scienze esatte. Quest'anno, il logico e teorico degli insiemi Hugh Woodin dell'Università di Harvard presenterà le sue intuizioni sui problemi irrisolvibili e sulla natura dell'infinito.

Come ricercatore, Hugh Woodin si occupa dei fondamenti della matematica e di come la matematica nel suo complesso possa essere costruita e giustificata logicamente. Poiché tutti i problemi matematici possono essere catturati e rappresentati sotto forma di insiemi, la teoria degli insiemi è ora considerata il fondamento logico della matematica.

Infiniti di diverse dimensioni

Come tutte le teorie matematiche, la teoria degli insiemi si basa su assiomi. Si tratta di principi il più possibile semplici e accettati come veri, dai quali si possono derivare senza contraddizioni tutti gli altri teoremi veri e che insieme dovrebbero formare un insieme (sistema) il più possibile completo e privo di contraddizioni.

Per i numeri naturali (0,1,2,3,4,5,6, ecc.) si è affermato un sistema standard chiamato ZFC, che risale a Ernst Zermelo (1871-1953) e Abraham Fraenkel (1891-1965) e che oggi comprende nove assiomi. Il sistema di assiomi ZFC è la base della teoria degli insiemi e quindi della matematica nel suo complesso.

Al centro del lavoro di Hugh Woodin c'è l'esame di uno dei più grandi enigmi della teoria degli insiemi: la cosiddetta ipotesi del continuo. Georg Cantor (1845-1918), il fondatore della teoria degli insiemi, fu il primo ad avanzare questa ipotesi in relazione al concetto di infinito.

Nel 1878 scoprì che anche gli insiemi con un numero infinito di elementi possono avere dimensioni diverse. Dimostrò, ad esempio, che l'insieme dei numeri reali (ad esempio 7, -51, 10⁶,Il concetto matematico di numero infinito (5/9, 2,4137, √3, π, ecc.), che Richard Dedekind introdusse nella matematica all'ETH di Zurigo nel 1858, è "ancora più infinito" dell'insieme dei numeri naturali. Allo stesso tempo, egli ipotizzò che tra questi due infiniti non potesse essercene un altro. Tuttavia, non riuscì a dimostrare la sua ipotesi e la situazione peggiorò ulteriormente nel XX secolo.

Irrisolvibile - né dimostrato né smentito

Kurt G?del (1906-1978) dimostrò per primo che l'ipotesi del continuo è coerente, cioè priva di contraddizioni, con il sistema assiomatico ZFC. Poi Paul Cohen (1934-2007) è riuscito a dimostrare che anche la negazione dell'ipotesi del continuo è coerente con ZFC. Questo non significa altro che l'ipotesi del continuo non può essere né dimostrata né confutata con gli assiomi della teoria degli insiemi. Pertanto, l'ipotesi del continuo è indecidibile in ZFC e quindi un problema irrisolvibile.

Sia G?del che Cohen hanno sviluppato tecniche che potrebbero portare alla soluzione del problema e Hugh Woodin è uno di quelli che ha ereditato la loro eredità. Con entrambe le tecniche ha ottenuto successi intermedi sulla strada della soluzione finale.

Inizialmente, Hugh Woodin ha lavorato con la tecnica della forzatura di Cohen, che può essere utilizzata per estendere i modelli della teoria degli insiemi con alcuni enunciati di base e per creare o escludere insiemi con determinate proprietà. In questo modo, ha cercato di estendere gli assiomi di ZFC e di confutare l'ipotesi del continuo. Tuttavia, Woodin lavora ora con un modello più vicino al cosiddetto "modello costruibile L" di G?del, in cui si applica l'ipotesi del continuo. Un modello per ZFC è una struttura che soddisfa tutti gli assiomi di ZFC.

Un modello reale o tanti modelli belli?

I teorici degli insiemi hanno opinioni molto diverse su come estendere gli assiomi di ZFC. Alcuni seguono Woodin e sperano di trovare finalmente il modello "giusto" di teoria degli insiemi con assiomi aggiuntivi. Altri cercano di aggiungere o omettere assiomi a ZFC utilizzando il metodo della forzatura per costruire diversi modelli di teoria degli insiemi.

Il logico e teorico degli insiemi Lorenz Halbeisen lavora con il metodo delle forzature. Il libero docente dell'ETH di Zurigo introdurrà il lavoro di Hugh Woodin alla Bernays Lecture del 14 settembre 2016. "Sono affascinato dalla ricchezza del sistema di assiomi ZFC e da quali modelli di teoria degli insiemi si possono formare utilizzandolo".

A differenza di Hugh Woodin, Lorenz Halbeisen non è alla ricerca di un modello ideale e corretto di teoria degli insiemi, ma è più interessato a "come la matematica cambia quando si aggiunge o si toglie un assioma, e che in questo modo si possono ottenere diverse teorie degli insiemi o diversi tipi di matematica".

Tuttavia, Halbeisen ammette che per i ricercatori che, come Woodin, vedono la teoria degli insiemi come fondamento della matematica, non ha molto senso avere diversi modelli di matematica, "perché questo significa anche che tutta la matematica è in una certa misura arbitraria".dice Halbeisen, "ma per chi, come me, intende la teoria degli insiemi come un sottocampo della matematica, è proprio il fatto di poter confrontare diversi modelli e indagare i limiti di un sistema assiomatico a essere entusiasmante"."