Divertimento infinito con una varietà infinita

Una delle scoperte più sorprendenti della matematica è l'esistenza di diversi tipi di infiniti, ed è stato a lungo un problema in apertura se alcuni di questi infiniti possano essere di dimensioni diverse senza contraddizioni.

Saharon Shelah dell'Università Ebraica di Gerusalemme è un logico matematico che da anni lavora intensamente su questo tema. Come relatore ospite agli eventi di quest'anno Paul Bernays Lectures Chi siamo parlerà degli attuali sviluppi della "lotta per la dimensione dell'infinito". Shelah è un esperto riconosciuto del problema matematico dell'infinito. Un anno fa, insieme a Martin Goldstern e Jakob Kellner dell'ETH, ha studiato il problema dell'infinito. pagina esternaTU Vienna - La prova che dieci - e non di più - infiniti possono essere di dimensioni diverse e che possono essere disposti in base alle loro dimensioni nel cosiddetto diagramma di Cichoń (vedi figura seguente).

Si trattava di una prova rivoluzionaria, come dimostra la storia: Il dibattito matematico moderno sull'infinito è iniziato con una serie di scoperte fatte dal matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918) negli anni Settanta del XIX secolo. Con la teoria degli insiemi - da lui fondata - stabilì che in matematica si possono distinguere molti, anzi un numero infinito di infiniti. Cantor intendeva l'infinito come un insieme che contiene un numero infinito di elementi (o numeri). Orientandosi sull'insieme infinito dei numeri naturali - questi sono i numeri che si usano nel conteggio quotidiano, cioè 1, 2, 3, 4, 5, ecc. -è riuscito a dimostrare che esistono due tipi di infinito di principio diversi.

Si tratta degli insiemi "contabilmente infiniti", che hanno lo stesso numero di elementi (o numeri) dell'insieme infinito dei numeri naturali, e degli insiemi "supercontabilmente infiniti", che contengono più elementi. Il secondo tipo è l'insieme infinito dei numeri reali. Oltre ai numeri interi, contiene anche numeri negativi, frazioni, radici o costanti matematiche come π, ecc. La matematica chiama l'insieme infinito dei numeri reali "continuum".

Come dimostrato da Cantor, il continuum è in realtà più grande dell'insieme contabilmente infinito dei numeri naturali. Questo è a sua volta l'insieme infinito più piccolo. Cantor studiò anche se tra gli insiemi infiniti dei numeri naturali e reali potessero esistere altri tipi di insiemi infiniti, o addirittura diversi. Egli ipotizzò che non fosse così e questa congettura è chiamata ipotesi del continuo.

Restringere l'infinito dalla diversità

Sfortunatamente per lui, non è mai stato in grado di dimostrarlo - a tutt'oggi nessuno è riuscito a farlo. Al contrario: dopo la Seconda guerra mondiale, i logici Kurt G?del (1906-1978) e Paul Cohen (1934-2007) dimostrarono che l'ipotesi del continuo non può essere né dimostrata né confutata nell'ambito della teoria assiomatica degli insiemi conosciuta. Si può ipotizzare sia che esistano altri tipi di infinito tra l'insieme dei numeri naturali e il continuo, sia che non ne esistano. Né l'una né l'altra affermazione contraddicono i principi di questa teoria degli insiemi.

Come tutte le teorie matematiche, anche la teoria degli insiemi si basa su assiomi. Si tratta di principi che vengono accettati come veri e dai quali è possibile derivare ulteriori affermazioni matematiche senza contraddizioni. Il sistema di assiomi ZFC, che risale a Ernst Zermelo (1871-1953) e Abraham Fraenkel (1891-1965), si è affermato come sistema standard della teoria degli insiemi e quindi come base dell'intera matematica. Comprende nove assiomi, tra cui l'assioma dell'infinito, grazie al quale si possono fare affermazioni anche su insiemi infiniti.

L'ipotesi del continuo e la domanda su quanti tipi di infinito si possano trovare occupano ancora oggi la matematica, anche se gli approcci differiscono a seconda della posizione filosofica: Ad esempio, i teorici degli insiemi come Hugh Woodin, ospite del convegno, sono stati invitati a partecipare alla conferenza. Conferenze Bernays 2016,Gli autori di questo articolo cercano di confutare o dimostrare l'ipotesi del continuo estendendo gli assiomi di ZFC con nuovi assiomi. Woodin segue la sua convinzione che possa esistere un solo modello "corretto" della teoria mengeliana.

Un approccio diverso, un po' più "giocoso", è quello di Saharon Shelah, che si dice ami risolvere problemi impegnativi e che dice di sé che la sua posizione nella filosofia della matematica è l'edonismo: "La matematica è divertente!"Shelah non si chiede tanto se l'ipotesi del continuo sia irrisolvibile, quanto piuttosto il contrario: se non è in contraddizione con gli assiomi della matematica, allora si è liberi di assumere che non sia applicabile e di indagare se esistano altri tipi di infinito. In linea di principio, potrebbe esistere un numero infinito di infiniti tra l'infinito contabilie e il continuo.

Alcune possono essere escluse: "Per le quantità infinite, è possibile qualsiasi quantità concepibile che non inneschi una contraddizione con gli assiomi ZFC", afferma Lorenz Halbeisen, libero docente e logico presso l'ETH di Zurigo, che ha condotto la ricerca con Shelah. A questo scopo Shelah ha sviluppato la cosiddetta tecnica di forzatura corretta. Con questo metodo, la teoria degli insiemi ZFC può essere estesa per includere nuovi insiemi infiniti e si possono costruire modelli molto diversi di ZFC per verificare determinate affermazioni. "Con questa tecnica è possibile specificare molto bene cosa è possibile fare in un modello e quali quantità possono essere escluse per gli insiemi infiniti", afferma Halbeisen.

Un talento per le connessioni sorprendenti