Un plaisir infini dans la diversité infinie

Parmi les découvertes les plus étonnantes des mathématiques figure la découverte qu'il existe différents types d'infinis - et le fait de savoir si certains de ces infinis peuvent être de tailles différentes sans contradiction a longtemps été un problème ouvert.

Saharon Shelah, de l'Université hébra?que de Jérusalem, est un logicien mathématicien qui s'y intéresse de près depuis des années. En tant que conférencier invité aux Paul Bernays Lectures il évoquera les développements actuels de la "lutte pour la grandeur de l'infini". Shelah est un expert reconnu de la problématique mathématique de l'infini. Il y a un an, il a réussi - avec Martin Goldstern et Jakob Kellner de l'EPFZ - à trouver une solution à la question de l'infini. page externeTU Vienne - la preuve que dix - et pas plus - infinis peuvent être de tailles différentes, et que l'on peut les ordonner selon leur taille dans ce que l'on appelle le diagramme de Cichoń (voir illustration ci-dessous).

Une démonstration révolutionnaire comme le montre l'histoire : Le débat moderne et mathématique sur l'infini a commencé par une série de découvertes faites par le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) dans les années 1870. Avec la théorie des ensembles - dont il est le fondateur - il constate que l'on peut distinguer en mathématiques de nombreux infinis, voire une infinité d'infinis. Cantor concevait en effet l'infini comme un ensemble contenant un nombre infini d'éléments (ou de nombres). En s'inspirant de l'ensemble infini des nombres naturels - c'est-à-dire les nombres que l'on utilise dans la vie quotidienne pour compter, à savoir 1, 2, 3, 4, 5, etc. -, il a pu montrer qu'il existe deux types d'infini fondamentalement différents.

A savoir les ensembles "infinis dénombrables", qui ont autant d'éléments (ou de nombres) que l'ensemble infini des nombres naturels, et les ensembles "infinis surnombrables", qui contiennent plus d'éléments. L'ensemble infini des nombres réels appartient à la deuxième catégorie. Elle contient non seulement des nombres entiers, mais aussi des nombres négatifs, des fractions, des racines ou des constantes mathématiques comme π, etc. Les mathématiciens appellent l'ensemble infini des nombres réels le "continuum".

Comme l'a démontré Cantor, le continuum est effectivement plus grand que l'ensemble infini dénombrable des nombres naturels. Celui-ci est à son tour le plus petit ensemble infini. Il a également cherché à savoir s'il pouvait y avoir un - ou même plusieurs - autres types d'ensembles infinis entre les ensembles infinis des nombres naturels et des nombres réels. Il a supposé que ce n'était pas le cas, et cette supposition s'appelle l'hypothèse du continuum.

Limiter l'infini à partir de la diversité

Malheureusement pour lui, il n'a jamais pu le prouver - jusqu'à aujourd'hui, personne n'a réussi à le faire. Au contraire : après la Seconde Guerre mondiale, les logiciens Kurt G?del (1906-1978) et Paul Cohen (1934-2007) ont prouvé qu'on ne pouvait ni prouver ni réfuter l'hypothèse du continuum dans le cadre de la théorie axiomatique des ensembles bien connue. On peut aussi bien supposer qu'il existe d'autres types d'infini entre l'ensemble des entiers naturels et le continuum, qu'admettre qu'il n'y en a pas. Ni l'une ni l'autre de ces affirmations ne contredit les principes de cette théorie des ensembles.

Comme toutes les théories mathématiques, ladite théorie des ensembles se fonde sur des axiomes. Ce sont des principes acceptés comme vrais, à partir desquels les autres énoncés mathématiques peuvent être déduits sans contradiction. Le système d'axiomes ZFC, qui remonte à Ernst Zermelo (1871-1953) et Abraham Fraenkel (1891-1965), s'est établi comme système standard de la théorie des ensembles - et donc comme fondement des mathématiques en général. Il comprend neuf axiomes, dont l'axiome de l'infini, gr?ce auquel il est également possible de faire des déclarations sur les ensembles infinis.

L'hypothèse du continuum et la question de savoir combien de types d'infinis peuvent être trouvés occupent les mathématiques jusqu'à aujourd'hui, avec des approches différentes selon l'attitude philosophique : Ainsi, des théoriciens des ensembles comme Hugh Woodin, conférencier invité de la Bernays Lectures 2016,Les mathématiciens tentent de réfuter ou de prouver l'hypothèse du continuum en ajoutant de nouveaux axiomes aux ZFC. Woodin suit en cela sa conviction qu'il ne peut y avoir qu'un seul modèle "correct" de la théorie de Mengelen.

Une autre approche, un peu plus " ludique ", est celle de Saharon Shelah, dont on dit qu'il aime résoudre des problèmes exigeants et qui dit de lui-même que sa position en philosophie des mathématiques est l'hédonisme : " Les mathématiques sont amusantes !" Shelah ne se demande pas tant si l'hypothèse du continuum est insoluble, mais se dit à l'inverse que si, d'une manière ou d'une autre, elle ne provoque pas de contradiction avec les axiomes des mathématiques, alors on est libre de supposer qu'elle ne s'applique pas, et d'examiner ensuite s'il existe des types d'infini supplémentaires. En principe, il pourrait y avoir une infinité d'infinis entre l'infini dénombrable et le continuum.

Certains peuvent être exclus : "Pour des quantités infinies, toute grandeur imaginable qui ne déclenche pas de contradiction avec les axiomes ZFC est possible", explique Lorenz Halbeisen, privat-docent et logicien à l'ETH Zurich, qui a fait des recherches avec Shelah. Pour cela, Shelah a développé la technique dite de "Proper Forcing". Cette méthode permet d'étendre la théorie des ensembles ZFC à de nouveaux ensembles infinis et de construire des modèles très différents de ZFC afin de vérifier certaines affirmations. "Avec cette technique, on peut très bien indiquer ce qui est possible dans un modèle et quelles grandeurs on peut exclure pour des ensembles infinis", explique Halbeisen.

Un flair pour les relations étonnantes