Les mathématiques sont partout. En visite dans le monde d'Alessio Figalli

Les mathématiques sont partout. Il suffit de les voir, dit Alessio Figalli en levant les yeux au ciel. Des nuages passent au-dessus de la ville de Zurich. Certains grands, d'autres petits. Aucun ne garde sa forme longtemps. De tels changements de forme intéressent Alessio Figalli. Ils lui offrent une vision qui lui permet de comprendre les mathématiques qui se cachent derrière. Les mathématiques pour lesquelles Figalli a re?u la médaille Fields.: la plus haute distinction pour un mathématicien de moins de 40 ans.

Les mathématiques sont partout. Les reconna?tre demande de la créativité, explique Figalli en se rendant au b?timent principal de l'ETH, où il a son bureau. Figalli se déplace à pied. C'est une bonne manière d'imaginer de nouvelles idées pour une question mathématique. D'autant plus lorsqu'il s'agit d'un problème sur lequel les mathématiques se creusent la tête depuis des années - voire plus. "Pour être le premier à résoudre une question ouverte, il faut développer ses propres idées. Ensuite, on essaie de combiner les résultats de différents domaines et de concevoir de nouvelles techniques pour résoudre le problème. C'est un processus de réflexion créatif", explique Figalli.

Le secret des nuages

Avec d'autres mathématiciens, Figalli a pu prouver que certaines modifications de la forme des nuages peuvent être calculées mathématiquement comme un "transport optimal". Il est donc possible d'appliquer aux nuages les mêmes équations - ou des équations apparentées - que celles utilisées pour calculer un trajet de transport de ressources ou de personnes le plus avantageux possible.

L'idée de la solution était la suivante : lorsqu'un nuage change brusquement de forme, d'innombrables particules de nuage se déplacent de leur position vers une autre. On peut aussi se représenter ce mouvement comme si les particules étaient transportées d'un endroit à un autre. C'est notamment le cas des formations nuageuses d'un grand front météorologique. Ceux-ci changent souvent de manière si brusque et soudaine qu'il est très difficile de les décrire mathématiquement.

Lorsque Figalli a abordé ce "problème semi-géostrophique" en 2005, le lien entre l'optimisation du transport et la météorologie était connu depuis les années 1990. Mais il manquait des résultats importants dans le détail. Il a donc entrepris d'étudier les équations différentielles très complexes ainsi que leurs propriétés et dépendances.

Les équations différentielles décrivent des mouvements et des changements. Elles sont l'un des outils les plus importants des sciences naturelles et de l'ingénierie et une condition préalable à de nombreuses réalisations techniques de la société moderne. L'équation de Monge-Ampère est une équation différentielle bien connue.

En substance, elle décrit le chemin le plus efficace pour transporter des objets et des ressources. Gaspard Monge (1746-1818) était un mathématicien fran?ais et ministre sous Napoléon. Il voulait savoir comment transporter le plus économiquement possible les matériaux de construction nécessaires vers les chantiers de construction de fortifications. Ou inversement : quel est le meilleur endroit pour acheminer les matériaux de construction si l'on veut minimiser les frais de transport ?

Le co?t du changement

Appliqué aux nuages, cela signifie que si l'on sait que les particules minimisent les "co?ts de transport" sur le chemin entre la distribution initiale et la distribution finale, on peut calculer leur chemin optimal. De cette manière, on obtient des informations sur la manière dont les nuages changent de forme. Pendant sept ans, Figalli et ses compagnons de route ont étudié l'équation de Monge-Ampère.

En 2012, la percée a eu lieu : ils ont pu prouver des résultats fondamentaux sur les propriétés des solutions pour cette équation. En outre, ils ont montré que l'équation est appropriée pour décrire les changements dans les formations nuageuses.

"Lors de l'application de la théorie du transport optimal à des exemples physiques et chimiques, le fait que la notion de 'co?t' minimal se réfère dans de nombreux cas à l'énergie joue un r?le important", explique Figalli, "car la nature minimise l'énergie".

Outre les nuages, Figalli a également étudié les changements de forme des bulles de savon et des cristaux. Tant les bulles de savon que les cristaux tendent vers une forme qui minimise leur énergie de surface. Bien qu'il s'agisse physiquement de différents types d'énergie, les équations sont très similaires sur le plan mathématique. On peut appliquer la théorie du transport optimal aux deux pour décrire comment leur forme change lorsqu'on leur fournit de l'énergie. On peut ensuite étudier comment les particules sont transportées de la configuration à énergie minimale à celle à énergie accrue.

Penseur original et solutionneur de problèmes

Il y a des mathématiciens qui développent une nouvelle technique avec laquelle ils ouvrent pour ainsi dire la porte à un tout nouveau domaine de recherche : c'est ce qui s'est passé lorsque Isaac Newton (1642-1726) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ont introduit le calcul différentiel. Alessio Figalli est un autre type de mathématiques. Il n'élabore pas de nouvelles théories ou de nouveaux modèles, mais se concentre sur le développement de solutions à des problèmes existants. Pas n'importe lesquelles, mais de préférence celles que les mathématiques étudient depuis longtemps.

Pour être le premier à résoudre un problème dans ce concours et à le justifier par une preuve rigoureuse, il faut, outre des connaissances approfondies, faire preuve de beaucoup de créativité et d'originalité. Il faut également savoir faire abstraction des attentes dé?ues : "De l'idée à la preuve rigoureuse, le chemin est long. J'ai souvent échoué, j'ai toujours appris", dit Figalli. Il a eu la chance d'avoir des professeurs qui comptent parmi les mathématiques les plus originales et les plus inventives : Luigi Ambrosio à Pise, Cédric Villani à Lyon, médaillé Fields en 2010, et Luis Angel Caffarelli à Austin.

A Austin, où Figalli a été professeur pendant sept ans avant de rejoindre l'ETH, on le qualifie d'"as de la résolution de problèmes". Figalli est un homme sportif : il préfère le basket-ball et le football. Il est marié et se décrit lui-même comme un chercheur fiable et efficace. Les mathématiques, dit-il, se construisent dans le dialogue. Ce qu'il apprécie à Zurich, ce sont les excellents étudiants, l'environnement vivant et dynamique de l'ETH Zurich et le fait que l'Université de Zurich possède également un solide institut de mathématiques.

Une carrière éclair après une intuition tardive

Sa carrière a été rapide : après des études à la Scuola Normale Superiore de Pise, une pépinière de talents qui n'accueille que quelques étudiants particulièrement originaux, il a obtenu son doctorat en un an seulement. Une fois dipl?mé, il est immédiatement devenu professeur assistant à Nice. ? 25 ans, il a été nommé professeur associé à l'Université du Texas à Austin, promu professeur ordinaire à 27 ans et nommé à l'ETH Zurich à 32 ans.

Figalli ne s'est pas senti très t?t appelé à faire des mathématiques : sa passion pour les mathématiques n'a été éveillée que lorsqu'un professeur de l'école de maturité gymnasiale l'a convaincu de participer aux Olympiades de mathématiques. Son père était professeur d'ingénierie et, enfant, il pensait que les mathématiques étaient un outil pour les ingénieurs. Il n'avait pas conscience qu'elles pouvaient être un domaine professionnel à part entière. Aujourd'hui, il tient à ce que "les gar?ons sachent que les mathématiques sont un métier créatif".

Les mathématiques sont partout.