La grandeur de l'objectivité et quelques preuves tangibles
Raphael Steiner a obtenu son doctorat en mathématiques à l'?ge de 21 ans. Le Fonds national suisse soutient désormais ses recherches à l'ETH Zurich dans le domaine de la théorie du graphène. Il s'agit entre autres de prouver une hypothèse vieille de plus de 80 ans.
Lorsque les utilisateurs consultent Google Maps ou un autre fournisseur de cartes numériques, ils voient des arrêts de bus, des pistes cyclables, des autoroutes. Raphael Steiner voit des n?uds, des arêtes, des graphes. Par graphes, on n'entend pas des courbes comme les graphes de fonctions, mais des réseaux de n?uds qui sont - ou ne sont pas - reliés entre eux. Les chercheurs appellent arêtes les liens entre deux n?uds.
La spécialité de Steiner, ce sont les mathématiques et l'informatique théorique. Les bureaux de l'Institut d'informatique théorique de l'ETH se trouvent au 21e étage de la tour Andreasturm à Zurich-Oerlikon. L'endroit, avec sa vue fantastique, ne pourrait pas être plus approprié pour un survolté comme Steiner. Le jeune homme de 23 ans travaille depuis plus de deux ans déjà à l'ETH Zurich. D'abord comme ETH-Fellow dans le cadre d'un programme qui s'adresse à d'excellents post-doctorants qui se sont distingués très t?t dans leur carrière. Depuis septembre 2023, le Fonds national suisse le soutient avec un subside Ambizione qui lui permet de mener son propre projet de recherche et d'encadrer son premier doctorant personnel pendant les quatre prochaines années.
Les mathématiques des réseaux routiers
"Je m'occupe de mathématiques discrètes", explique Steiner. "Cela signifie que les objets que j'étudie sont généralement des choses finies", comme les graphes, qui intéressent particulièrement le jeune mathématicien.
Un réseau de transport peut être représenté de cette manière, avec les intersections comme n?uds et les routes comme arêtes, sur lesquelles des informations supplémentaires peuvent être stockées, comme le temps nécessaire pour emprunter cette liaison. "Google-Maps utilise de tels graphes pour trouver le chemin le plus court de A à B", explique Steiner. "La théorie des graphes a donc une pertinence pratique certaine lorsqu'il s'agit de développer des algorithmes pour trouver le plus rapidement possible la solution aux problèmes de connexion optimale. Mais je m'occupe plut?t de questions théoriques".
Baccalauréat et master dans la même année
Dès son plus jeune ?ge, Raphael Steiner, qui a grandi à Tuttlingen, dans le sud de l'Allemagne, a commencé à s'intéresser aux mathématiques. ? l'école, il lisait des livres sur l'astrophysique. "C'est là que je me suis un peu intéressé à la théorie de la relativité et que j'ai remarqué qu'il fallait beaucoup de mathématiques pour comprendre, entre autres, ce qui se passe dans les trous noirs", raconte-t-il. ? la fin de la sixième année, il avait déjà parcouru tous les livres de mathématiques du collège. Avec sa s?ur, de cinq ans son a?née, qui se préparait au baccalauréat, il résolvait des problèmes de ce niveau.
"Je m'ennuyais à l'école", avoue-t-il. C'est pourquoi son père, ingénieur, a cherché des moyens d'encourager davantage son fils surdoué et est tombé sur l'université à distance de Hagen. "Je pouvais ainsi continuer à aller à l'école normalement et, sans que cela se remarque là-bas, faire des études en parallèle depuis la maison", explique Steiner. Il a obtenu son master en mathématiques en même temps que son baccalauréat, à l'?ge de 18 ans.
Son travail de bachelor avait déjà fait sensation auprès des spécialistes. En collaboration avec un professeur de mathématiques de Berlin, il a rédigé un article scientifique avant même d'obtenir son dipl?me de master, puis a accepté un poste de doctorant à l'Université technique de Berlin. En 2021, à tout juste 21 ans, il a obtenu son doctorat summa cum laude. "Après cela, je voulais rester près de chez moi dans le sud de l'Allemagne", raconte-t-il, "et l'ETH, qui est une excellente haute école, était bien s?r une option".
Il a contacté Angelika Steger, professeure à l'Institut d'informatique théorique de l'ETH, et a obtenu le précieux sésame. Bourses d'études de l'ETH. Le fait que cela ait ensuite également fonctionné avec la promotion Ambizione le réjouit particulièrement. "J'en suis très heureux, car cela signifie quatre ans de sécurité", dit-il. "Le métier de chercheur académique est certes formidable, mais en tant que postdoctorant, on se soucie normalement aussi de son avenir".
Preuve à l'aide d'un ordinateur
Le sujet sur lequel il travaille dans le cadre de l'encouragement Ambizione est en effet difficilement compréhensible pour les profanes. Il s'agit d'une conjecture émise en 1943 par le mathématicien suisse Hugo Hadwiger. Elle fait une déclaration sur les graphes ayant certaines propriétés structurelles. La conjecture dit que ces structures peuvent être décomposées d'une manière bien précise en sous-structures simples, tout en ne contenant pas certaines autres sous-structures. "J'essaie de prouver cela, ou du moins de progresser vers une preuve", explique Steiner. "C'est un grand problème, de nombreux penseurs se sont déjà cassé la tête à ce sujet".
"S'il existe une preuve tangible de quelque chose, même quelqu'un qui ne t'aime pas doit l'accepter. Je trouve cette objectivité formidable".Raphael Steiner
La conjecture de Hadwiger concerne la coloration des graphes, explique le mathématicien. Il s'agit d'attribuer une couleur à chaque n?ud d'un graphe. La seule condition est que les n?uds qui sont reliés entre eux, c'est-à-dire qui ont une arête, ne doivent pas recevoir la même couleur. Une partie de la conjecture de Hadwiger est ce que l'on appelle le théorème des quatre couleurs. Il dit ceci : Si l'on veut colorier une carte géographique avec différents pays de manière à ce que les pays voisins aient des couleurs différentes, quatre couleurs suffisent. Bien que le théorème des quatre couleurs ait été établi dès le milieu du 19e siècle, il a fallu plus de 100 ans pour le prouver. "La démarche était controversée dans le milieu des mathématiques", raconte Steiner. "Car la preuve nécessitait une aide informatique. C'était quelque chose de nouveau".
Autrefois, les mathématiciens analysaient à la main les différents cas possibles d'une conjecture. Mais pour le problème des quatre couleurs, il y avait tellement de cas problématiques que seul un ordinateur pouvait le faire. "Les gens étaient alors sceptiques quant à l'absence d'erreurs dans le code du programme", explique Steiner. Depuis, la preuve a été vérifiée avec des langages de programmation modernes et il n'y a plus de doute. "Néanmoins, tout le monde n'est pas content de ce type de preuve", explique Steiner. "Si l'on résout un problème avec l'ordinateur, c'est certes un fait, mais intuitivement, on ne comprend pas vraiment pourquoi c'est valable". Ce défi devrait encore s'accentuer dans un avenir proche, lorsque des assistants de preuve basés sur l'IA seront également utilisés.
Un objectif intermédiaire à portée de main
Il existe également différentes approches pour prouver la conjecture beaucoup plus générale de Hadwig. Le point de départ pourrait être une nouvelle preuve non assistée par ordinateur du théorème des quatre couleurs, qui pourrait servir de base à une généralisation. "Moi aussi, j'ai déjà essayé, mais c'est difficile", admet Steiner. Il suit désormais une autre approche : "Lorsque nous ne pouvons pas résoudre un problème mathématique, nous le simplifions souvent un peu et essayons ensuite de nous rapprocher progressivement du vrai problème". Un objectif intermédiaire semble être à portée de main, comme le montrent les travaux réalisés jusqu'à présent.
Avoir le grand objectif en tête, mais se concentrer sur les étapes intermédiaires. C'est ce que fait Steiner lorsqu'il joue aux échecs, comme il le fait si souvent pendant son temps libre. "J'y trouve beaucoup de plaisir", dit-il. Mais le penseur trouve aussi de temps en temps un équilibre dans l'entra?nement physique de l'ETH ou va courir. "J'aime aussi chanter et je me demande si je ne devrais pas chercher un groupe", raconte-t-il.
Mais comment un tel surdoué gère-t-il le fait que cela ne fonctionne pas du premier coup ? Il admet volontiers qu'au travail, il y a parfois des jours où les idées de solutions ne jaillissent pas comme un fleuve. Mais la fascination l'emporte de loin. "Ce qu'il y a de bien avec les mathématiques, c'est qu'elles donnent des réponses claires à des questions concrètes", explique-t-il. "S'il existe une preuve tangible de quelque chose, même quelqu'un qui ne t'aime pas doit l'accepter. Je trouve cette objectivité formidable".
Références bibliographiques
Steiner, R. ?quivalence asymptotique de la conjecture de Hadwiger et de son odd minor-variant. Journal of Combinatorial Theory, Series B, Volume 155, 2022, Pages 45-51. DOI : page externe10.1016/j.jctb.2022.02.002.
Martinsson, A, Steiner, R. Renforcement de la conjecture de Hadwiger pour les graphes à 4 et 5 chromatiques. Journal of Combinatorial Theory, Series B, Volume 164, 2024, Pages 1-16. DOI : page externe10.1016/j.jctb.2023.08.009.