Un cambio di prospettiva che ha fatto scalpore
Yunan Yang utilizza la matematica applicata per trovare soluzioni ai cosiddetti problemi inversi che si presentano nella sismologia, nelle previsioni meteorologiche e nell'apprendimento automatico. La chiave del successo è l'ottimizzazione del trasporto.
I problemi inversi sono l'ambito specialistico di Yunan Yang. "La nostra vita quotidiana ne è piena", spiega: "Le apparecchiature mediche a ultrasuoni emettono onde sonore al di fuori del nostro campo uditivo che attraversano il corpo e registrano nuovamente le onde restituite. Il software elabora i segnali delle onde e mostra ciò che accade nel corpo. "Determinare l'immagine del bambino dalle onde è un problema inverso", spiega il matematico 32enne, che dal gennaio 2022 lavora come Advanced Fellow presso l'Istituto di studi teorici dell'ETH (ETH-ITS): "Sono cresciuto in Cina e poi ho vissuto negli Stati Uniti per otto anni, ma mai in Europa", dice Yang: "Ecco perché volevo venire a Zurigo e lavorare con ricercatori europei".
Anche la rilevazione dei terremoti può essere ammessa come un problema inverso. I segnali sismici misurati dalle stazioni sismiche indicano dove e a quale profondità sotto la superficie si trova la sorgente del terremoto. "Si tratta anche di un problema di elaborazione del segnale", spiega Yang. La sua soluzione al problema inverso delle onde sismiche utilizzando un'altra teoria matematica ha fatto scalpore tra gli esperti. Questa teoria si chiama "trasporto ottimale".
"Il problema del trasporto ottimale è facile da formulare, ma molto difficile da risolvere".Yunan Yang
Ridurre al minimo i costi
"? una teoria molto bella che risale a una semplice domanda che il matematico francese Gaspard Monge si pose nel 1781", spiega Yang: "Qual è il modo migliore per trasportare un grande mucchio di sabbia da un luogo all'altro in modo da minimizzare i costi? Si sommano i costi di tutti gli spostamenti, cioè massa per distanza, e si cerca di minimizzare questo valore per determinare il piano di trasporto ottimale".
"Il problema del trasporto ottimale è facile da formulare, ma molto difficile da risolvere", afferma la matematica: "Monge non è riuscito a risolverlo". Solo negli anni '40 il problema è stato semplificato a tal punto da poter essere risolto vent'anni dopo grazie a computer più efficienti. "Dagli anni '90 la teoria è diventata più completa: ci sono estensioni, algoritmi veloci e applicazioni", dice Yang.
Torniamo alle onde sismiche. "Non possiamo guardare a 200 chilometri di profondità nella terra per individuare la sorgente di un terremoto", dice il matematico. Tuttavia, i dati sismici possono essere simulati utilizzando misure e modelli fisici. Le onde sismiche simulate vengono confrontate con le onde reali misurate e si cerca di allinearle e di ridurre al minimo la differenza tra le due. "Per risolvere il problema, ho cambiato il modo di misurare la differenza tra le onde", spiega Yang: "Immagino che le onde misurate siano un mucchio di sabbia. Simulo un secondo mucchio di sabbia e cerco di trovare il modo ottimale per allinearle". In termini matematici, Yang utilizza una metrica diversa per misurare le onde, quella che deriva dalla teoria del trasporto ottimale.
Un incontro meraviglioso
Yang dice che deve la sua carriera matematica a un incontro meraviglioso. Ha iniziato a studiare scienze all'Università cinese di Zhejiang e dopo un anno si è resa conto che la matematica, pur essendo la materia più difficile, la affascinava di più, così l'ha scelta come specializzazione. Da studentessa, si è offerta di andare a prendere degli ospiti all'aeroporto di Shanghai, tra cui Luis Caffarelli e sua moglie Irene Gamba, entrambi matematici argentino-americani cattedratici presso l'Università del Texas ad Austin. Caffarelli era già all'epoca uno dei luminari nel campo delle equazioni differenziali parziali e ha recentemente ricevuto il Premio Abel, il più alto riconoscimento per i matematici che hanno superato i 40 anni.
"Ero molto eccitata e li ho tempestati di domande durante le due ore di viaggio dall'aeroporto all'università, un'esperienza piuttosto spericolata dal punto di vista odierno", racconta Yang: Caffarelli e Gamba hanno risposto pazientemente alle domande della studentessa e l'hanno incoraggiata a candidarsi a un programma di dottorato ad Austin. Yang ebbe successo: "Un anno dopo ero ad Austin per iniziare il mio dottorato e li incontrai di nuovo entrambi".
Punto d'incontro della matematica ETH
Tra i membri della facoltà di Austin all'epoca c'era il matematico italiano Alessio Figalli, nominato all'ETH di Zurigo nel 2016 e insignito della medaglia Fields nel 2018, una sorta di premio Nobel per i matematici di età inferiore ai 40 anni. Nel 2015, Yang ha seguito i corsi di Figalli presso l'Università del Texas ad Austin, che lavora anche nel campo del trasporto ottimale. Dopo la tesi di dottorato, si è trasferita al Courant Institute della New York University, il numero uno della matematica applicata negli Stati Uniti. Lì ha incontrato Afonso Bandeira, nominato all'ETH nel 2019. ? stato quindi naturale che si candidasse per una posizione di Advanced Fellow presso l'ETH dopo la scadenza del suo postdoc negli Stati Uniti e che avesse nuovamente successo.
L'ETH è uno dei migliori posti al mondo per Fare ricerca all'ETH. Insieme a Figalli e a un collega dell'EPF di Losanna, ha recentemente organizzato un workshop internazionale a Zurigo sulla teoria e l'applicazione del trasporto ottimale.
Il cambiamento della metrica per misurare le onde e quindi risolvere i problemi inversi utilizzando il trasporto ottimale è ormai consolidato. Gli strumenti di questa teoria sono ora utilizzati per molte applicazioni diverse. Ad esempio, possono essere utilizzati anche nell'apprendimento automatico, poiché anche in questo caso si cerca di armonizzare i dati. Oppure per determinare la struttura delle molecole utilizzando la microscopia elettronica a bassissima temperatura.
Scappare dalla frustrazione
Il lavoro matematico può essere frustrante. "Il 90% delle volte si è bloccati: non è una bella sensazione", dice Yang. Per trovare nuove idee, esce all'aria aperta e corre. Dopo diverse mezze maratone, quest'anno ha corso per la prima volta la maratona completa a Zurigo. Le piace anche fare escursioni in montagna. "? così pratico qui, come una donna svizzera, che prendo il treno", dice. Anche l'insegnamento è una buona distrazione, perché le permette di parlare di cose che conosce. "A luglio assumerà una cattedra alla Cornell University negli Stati Uniti, che comprende anche l'insegnamento.
Il trasferimento negli Stati Uniti è dovuto anche a motivi personali: "Sto per sposarmi e il mio futuro marito è professore alla Cornell". Rispetto a Zurigo, la città è piccola, ma anche bella, con molti laghi nelle vicinanze: un luogo ideale per la vita familiare. "La posizione all'ETH mi ha dato una grande opportunità di costruire relazioni e lavorare con persone provenienti da diverse parti d'Europa", dice la matematica: "Posso continuare queste collaborazioni in futuro".
Riferimento alla letteratura
Molinaro R, Yang Y, Engquist, Mishra, S. Neural Inverse Operators for Solving PDE Inverse Problems. Research Collection dell'ETH di Zurigo (2023). https://www.research-collection.ethz.ch/handle/20.500.11850/596104
Engquist, B, Ren, K, Yang, Y. La metrica quadratica di Wasserstein per la corrispondenza inversa dei dati. Inverse Problems 36 (2020) 055001. DOI: pagina esternahttps://doi.org/10.1088/1361-6420/ab7e04
Yang, Y, Engquist, B, Sun, J, Hamfeldt B F. Applicazione del trasporto ottimale e della metrica quadratica di Wasserstein all'inversione di forme d'onda complete. Geophysics 83 (2018) 1. DOI: pagina esternahttps://doi.org/10.1190/geo2016-0663.1
Engquist, B, Froese, B D, Yang, Y. Optimal transport for seismic full waveform inversion. Communications in Mathematical Sciences 14 (2016) 8 DOI: pagina esternahttps://dx.doi.org/10.4310/CMS.2016.v14.n8.a9