Affari turbolenti: Come i ricercatori possono simulare meglio le onde d'urto
Non è necessario che si tratti di un uragano o di uno tsunami: anche un sottile getto d'acqua nel lavandino scatena un'onda d'urto fisica. Ora il matematico dell'ETH Siddhartha Mishra ha trovato un modo per superare le difficoltà della simulazione di flussi altamente turbolenti sul supercalcolo "Piz Daint" del Centro nazionale svizzero di supercalcolo (CSCS).
![Alba con cielo blu](/de/news-und-veranstaltungen/eth-news/news/2023/04/turbulente-angelegenheiten-wie-forschende-schockwellen-besser-simulieren/_jcr_content/articleLeadImage/image.imageformat.carousel.1941764156.jpg)
Che si tratti di tornado, valanghe, inondazioni o delle correnti d'aria che trasportano un aereo: le forti correnti sono tutte intorno a noi. "Comprenderle è fondamentale per migliorare i processi tecnici o prevedere con maggiore precisione i fenomeni naturali", afferma Siddhartha Mishra, professore di matematica applicata all'ETH di Zurigo. Mishra è particolarmente interessato a fenomeni potenti, come quelli con forti turbolenze o onde d'urto. Insieme al suo team, studia queste dinamiche dei fluidi e sviluppa algoritmi per simularle in modo più preciso ed efficiente al computer. Ma, cosa ancora più importante, il matematico sta cercando di superare i limiti fondamentali delle attuali simulazioni di flusso.
Equazioni semplici, soluzioni complesse
Le attuali equazioni matematiche utilizzate per descrivere i fluidi hanno un'origine quasi classica: il matematico svizzero Leonhard Euler le ha formulate quasi 270 anni fa. Sebbene all'epoca Euler non tenesse conto della viscosità di un flusso, le sue equazioni differenziali possono essere utilizzate ancora oggi per molti flussi in cui questa proprietà è trascurabile. Sulla carta, le equazioni sembrano sorprendentemente semplici, eppure sono incredibilmente difficili da risolvere, semplicemente perché i fenomeni che descrivono sono così complessi. "Non abbiamo ancora capito completamente le equazioni", dice Mishra.
Questa mancanza di comprensione può essere aggirata nella pratica: Gli esperti di fluidodinamica utilizzano algoritmi per calcolare approssimazioni alle soluzioni delle equazioni su supercomputer come il "Piz Daint" del Centro Nazionale Svizzero di Supercalcolo (CSCS) di Lugano. Questi metodi di approssimazione numerica hanno avuto successo in molti casi: ad esempio, possono essere utilizzati per simulare i flussi d'aria di supporto intorno alle ali degli aerei o i flussi d'acqua attraverso le turbine e quindi comprenderli meglio o prevedere con maggiore precisione i fenomeni meteorologici. Il team di Mishra ha sviluppato, tra l'altro, algoritmi migliori per la simulazione e la previsione dei fenomeni meteorologici. pagina esternaTsunami e Valanghe o per la modellazione di pagina esternaSupernove sviluppato.
![Vista ingrandita: sezione della mappa che mostra la posizione del megatsunami](/de/news-und-veranstaltungen/eth-news/news/2023/04/turbulente-angelegenheiten-wie-forschende-schockwellen-besser-simulieren/_jcr_content/wide_content/image/image.imageformat.1286.858532021.png)
Tuttavia, a rigore, questi metodi non sono matematicamente precisi. E per alcuni fenomeni hanno raggiunto i loro limiti. "Normalmente, ci si aspetta che una risoluzione più elevata fornisca risultati più accurati", afferma Mishra. In altre parole, se si includono più punti individuali nel tempo e nello spazio in un calcolo, l'errore dovrebbe diventare più piccolo e i valori approssimativi calcolati dovrebbero riflettere meglio la realtà. Tuttavia, questo non funziona con i fluidi altamente turbolenti, come ha dimostrato Mishra. Al contrario: i risultati ottenuti ad alta risoluzione non corrispondono affatto ai risultati dei calcoli a bassa risoluzione - non convergono, come dice la matematica, ma appaiono completamente diversi. "Questo significa anche che non è possibile calcolare previsioni per questi fenomeni".
Estremamente utile: perturbazioni casuali
Mishra e il suo team hanno quindi cercato un modo per superare queste difficoltà nella simulazione di flussi altamente turbolenti, ossia con le cosiddette soluzioni statistiche. Per farlo, i ricercatori hanno "randomizzato" il problema, cioè hanno tenuto conto del caso: Hanno generato molte piccole perturbazioni casuali nei flussi in esame e poi hanno analizzato il risultato medio. "Questa è la base delle soluzioni statistiche", spiega Mishra. "Se le singole misurazioni o gli esperimenti non mostrano un comportamento convergente, è possibile considerare i valori medi". Ecco perché si può vedere una maggiore struttura con i valori medi".
Ma non è tutto: bisogna anche tenere conto del fatto che le proprietà statistiche dei flussi in diversi punti dello spazio sono interdipendenti, come spiega Mishra. Prendiamo ad esempio il meteo: la temperatura di Zurigo non influisce solo sulle località vicine, ma anche su quelle lontane, come la temperatura di Monaco. "Per questo motivo dobbiamo analizzare le correlazioni tra i punti anziché i singoli punti", spiega Mishra.
Soluzione per problemi turbolenti ed esplosivi
Questo per quanto riguarda la teoria. Come si presenta tutto ciò nella pratica? "Possiamo calcolare queste soluzioni statistiche", dice Mishra. In effetti, i valori medi calcolati convergono ora a una risoluzione più elevata, come si è reso conto il team. E questo non valeva solo per variabili specifiche, come la densità o la velocità di un flusso, ma anche per le deviazioni statistiche di queste variabili e la loro distribuzione di probabilità. "Finora tutte le nostre simulazioni di prova con flussi semplificati e bidimensionali hanno funzionato": valori medi, deviazioni, distribuzione di probabilità o correlazioni, tutti i valori statistici convergono e le soluzioni ottenute sono stabili.
-
Qui, la densità di un flusso fortemente turbolento è stata calcolata a diverse risoluzioni, da una griglia di 128 punti (in alto a sinistra) a una griglia di 512 punti (in basso a sinistra). Tuttavia, l'errore dei calcoli non diminuisce come di consueto con l'aumentare della risoluzione (grafico in basso a destra) e i risultati non convergono. (Grafico: S. Mishra)
-
Il problema può essere risolto considerando i valori medi delle corse randomizzate. L'immagine mostra le densità di flusso di un ensemble di 64: ora l'errore diminuisce con una maggiore risoluzione spaziale e temporale e i risultati convergono. (Grafico: S. Mishra)
Dopo queste prime simulazioni 2D, il team di Mishra ha effettuato simulazioni 3D utilizzando il supercomputer "Piz Daint" del CSCS di Lugano. I ricercatori hanno recentemente ottimizzato il loro codice in modo da poter accelerare le simulazioni su "Piz Daint" di oltre dieci volte.
Nelle simulazioni, alcune forze di taglio sono state inizialmente esercitate virtualmente sui flussi per simulare la formazione delle cosiddette instabilità di Kelvin-Helmholz. Queste portano a vortici specifici, come quelli visibili nel fumo di una candela che si arriccia, così come in alcune formazioni nuvolose o nei gas dell'atmosfera dei pianeti. Anche in questo caso, i risultati hanno mostrato: Se i ricercatori esaminano le singole simulazioni, non è possibile riconoscere alcuna convergenza. "Tuttavia, se lavoriamo con le proprietà statistiche di numerose simulazioni, come valori medi, deviazioni e probabilità, le soluzioni convergono", conferma Mishra.
-
Nelle singole simulazioni 3D, il team di Mishra ha studiato la formazione delle instabilità di Kevin-Helmholz con calcoli a diverse risoluzioni: Da sinistra a destra, si tratta di 1283, 2563 e 5123 punti di griglia. Anche in questo caso è stato dimostrato che i risultati non diventano più precisi con l'aumentare della risoluzione. (Grafico: S. Mishra)
-
La situazione è diversa quando si analizzano i valori statistici delle simulazioni. Ora i valori medi, le distribuzioni di probabilità e gli errori (come mostrato nell'immagine) convergono con una risoluzione crescente. Il risultato diventa significativo e sempre più preciso. (Grafico: S. Mishra)
Dall'ipotesi al teorema matematico
Recentemente, il suo team ha effettuato simulazioni simili di un altro fenomeno su "Piz Daint", la cosiddetta instabilità Richtmeyer-Meshkov. Questo fenomeno è noto soprattutto in astrofisica e si verifica quando un'onda d'urto colpisce l'interfaccia tra due flussi diversi. "Questa instabilità è violenta, simile a un'esplosione", spiega Mishra. Ancora una volta, le simulazioni e le analisi del team hanno dimostrato che le soluzioni statistiche di molte simulazioni convergono con l'aumentare della risoluzione, mentre le singole simulazioni senza convergenza non arrivano molto lontano.
"Grazie alle simulazioni al computer, ora abbiamo una comprensione molto migliore di ciò che sta accadendo", riassume Mishra. "Siamo stati in grado di testare le nostre ipotesi sull'utilità delle soluzioni statistiche e di sviluppare una certa intuizione per queste soluzioni. Ma ora dobbiamo prendere carta e penna per dimostrare rigorosamente la matematica della nostra ipotesi, cioè per stabilire un teorema basato sugli assiomi fondamentali della matematica". Per un matematico come Mishra, questo è essenziale: una sorta di livello finale e superiore di verità.
Riferimenti
S. Lanthaler, S. Mishra e C. Parés-Pulido: Soluzioni statistiche delle equazioni di Eulero incomprimibili, Math. mod. Meth. Appl. Sci. 31 223-292 (2021), DOI: pagina esterna10.1142/S0218202521500068
U.S. Fjordholm, K. Lye, S. Mishra e F. Weber: Soluzioni statistiche di sistemi iperbolici di leggi di conservazione: approssimazione numerica, Math. mod. Meth. Appl. Sci. 30(3) 539-609 (2020), DOI: pagina esterna10.1142/S0218202520500141
K.O. Lye, Computing of statistical solutions of hyperbolic systems of conservation laws, 2020, Tesi di dottorato dell'ETH n. 26728