Des affaires turbulentes : Comment les chercheurs simulent mieux les ondes de choc
Pas besoin d'un ouragan ou d'un tsunami - même un mince filet d'eau dans un évier déclenche une onde de choc physique. Aujourd'hui, le mathématicien de l'ETH Siddhartha Mishra a trouvé sur le superordinateur "Piz Daint" du Centre suisse de calcul scientifique (CSCS) un moyen de surmonter les difficultés de simulation d'écoulements fortement turbulents.
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Qu'il s'agisse de tornades, d'avalanches, d'inondations ou des courants d'air qui sponsorisent un avion, les courants forts se trouvent partout autour de nous. "Les comprendre est essentiel pour améliorer les processus techniques ou prédire plus précisément les phénomènes naturels", explique Siddhartha Mishra, professeur de mathématiques appliquées à l'ETH Zurich. Mishra s'intéresse surtout aux phénomènes puissants, ceux qui présentent de fortes turbulences ou des ondes de choc. Avec son équipe, il étudie de telles dynamiques d'écoulement et développe des algorithmes pour les simuler de manière plus précise et efficace sur ordinateur. Mais le mathématicien cherche encore plus à faire éclater les limites fondamentales des simulations d'écoulement actuelles.
Des équations simples, des solutions complexes
Les équations mathématiques proprement dites permettant de décrire les fluides sont d'origine presque classique : le mathématicien suisse Leonhard Euler les a formulées il y a près de 270 ans. Certes, à l'époque, Euler ne tenait pas encore compte de la viscosité d'un écoulement, mais ses équations différentielles peuvent néanmoins être appliquées aujourd'hui à de nombreux écoulements pour lesquels cette propriété est négligeable. Sur le papier, les équations ont l'air étonnamment simples - et pourtant elles sont incroyablement difficiles à résoudre, tout simplement parce que les phénomènes qu'elles décrivent sont si complexes. "Même aujourd'hui, nous n'avons pas encore complètement compris les équations", dit Mishra.
Cette incompréhension peut être contournée dans la pratique : Les experts en dynamique des fluides utilisent des algorithmes pour calculer des approximations des solutions des équations sur des superordinateurs comme le "Piz Daint" du Swiss National Supercomputing Centre (CSCS) à Lugano. De telles méthodes d'approximation numérique ont connu de nombreux succès : elles permettent par exemple de simuler et donc de mieux comprendre les courants d'air porteurs autour des ailes d'avion ou les cours d'eau à travers les turbines, ou encore de prédire plus précisément les phénomènes météorologiques. L'équipe de Mishra a entre autres développé des algorithmes améliorés pour la simulation et la prédiction de page externeTsunamis et Avalanches ou à la modélisation de page externeSupernovas développé.
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Néanmoins, au sens strict, ces méthodes ne sont pas mathématiquement précises. Et : pour certains phénomènes, elles ont atteint leurs limites. "Normalement, on s'attendrait à ce qu'une résolution plus élevée donne des résultats plus précis", explique Mishra. En d'autres termes, si l'on intègre dans un calcul davantage de points individuels du temps et de l'espace, l'erreur devrait en principe diminuer et les valeurs approximatives calculées devraient mieux refléter la réalité. Mais cela ne fonctionne pas pour les fluides fortement turbulents, comme l'a montré Mishra. Au contraire : les résultats obtenus à haute résolution ne correspondent alors pas du tout aux résultats des calculs à plus faible résolution - ils ne convergent pas, comme le dit le mathématicien, mais ont un aspect complètement différent. "Cela signifie aussi qu'il n'est pas possible de calculer des prédictions pour de tels phénomènes".
Extrêmement utiles : les perturbations aléatoires
C'est pourquoi Mishra et son équipe ont cherché un moyen de surmonter ces difficultés lors de la simulation d'écoulements fortement turbulents, et ce gr?ce à ce qu'ils appellent des solutions statistiques. Pour ce faire, les chercheurs ont "randomisé" le problème, c'est-à-dire pris en compte le hasard : Ils ont généré de nombreuses minuscules perturbations aléatoires dans les écoulements étudiés - et ont ensuite analysé le résultat moyenné. "C'est la base des solutions statistiques", explique Mishra. "Si des mesures ou des expériences individuelles ne sont pas convergentes, on peut regarder des moyennes à la place". Pour faire simple : "Dans les écoulements turbulents, ce sont les détails qui posent problème. C'est pourquoi on voit plus de structure avec des moyennes".
Mais ce n'est pas tout : il faut en outre tenir compte du fait que les propriétés statistiques des courants à différents endroits de l'espace dépendent les unes des autres, comme l'explique Mishra. Par exemple, dans le cas de la météo : la température à Zurich n'a pas seulement un impact sur les endroits proches, mais aussi sur les endroits éloignés, comme la température à Munich. "C'est pourquoi, au lieu d'étudier des points isolés, nous devons examiner les corrélations entre les points", explique Mishra.
Solution aux problèmes turbulents et explosifs
Voilà pour la théorie. Qu'en est-il dans la pratique ? "Nous pouvons calculer de telles solutions statistiques", dit Mishra. En effet, l'équipe a constaté que les valeurs moyennes calculées convergeaient désormais avec une résolution plus élevée. Et : cela ne valait pas seulement pour des grandeurs spécifiques, comme la densité ou la vitesse d'un écoulement, mais aussi pour les écarts statistiques de ces grandeurs et leur distribution de probabilité. "Jusqu'à présent, chacune de nos simulations de test avec des écoulements bidimensionnels simplifiés a fonctionné". Qu'il s'agisse des moyennes, des écarts, de la distribution de probabilité ou des corrélations, toutes les valeurs statistiques convergent et les solutions obtenues sont stables.
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Ici, la densité d'un écoulement fortement turbulent a été calculée à différentes résolutions - d'une grille de 128 points (en haut à gauche) à une grille de 512 points (en bas à gauche). Seulement, l'erreur des calculs ne diminue pas comme d'habitude avec la résolution (graphique en bas à droite) et les résultats ne convergent pas. (Graphique : S. Mishra)
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Le problème peut être résolu en considérant des moyennes de passages randomisés. Sur l'image, les densités de flux d'un ensemble de 64 : maintenant, l'erreur diminue avec une résolution spatiale et temporelle plus élevée et les résultats convergent. (Graphique : S. Mishra)
Après ces premières simulations en 2D, l'équipe de Mishra a réalisé des simulations en 3D à l'aide du superordinateur "Piz Daint" au CSCS de Lugano. Récemment, les chercheurs ont optimisé leur code, ce qui leur a permis d'accélérer les simulations sur "Piz Daint" de plus de dix fois.
Dans les simulations, certaines forces de cisaillement ont d'abord été exercées virtuellement sur les écoulements afin de simuler l'apparition de ce que l'on appelle les instabilités de Kelvin-Helmholz. Celles-ci conduisent à des tourbillons spécifiques, comme ceux visibles par exemple dans la fumée frisante d'une bougie, de même que dans certaines formations nuageuses ou dans les gaz de l'atmosphère des planètes. Ici aussi, les résultats ont montré : Si les chercheurs considèrent des simulations individuelles, aucune convergence n'est visible. "Mais si nous travaillons avec les propriétés statistiques de nombreuses simulations, comme les moyennes, les écarts et les probabilités, les solutions convergent", confirme Mishra.
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Dans des simulations 3D individuelles, l'équipe de Mishra a étudié la formation des instabilités de Kevin-Helmholz avec des calculs de différentes résolutions : De gauche à droite, il s'agit de 1283, 2563 et 5123 points de grille. Là encore, il s'est avéré que les résultats n'étaient pas plus précis avec une résolution plus élevée. (Graphique : S. Mishra)
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Il en va autrement lorsque les valeurs statistiques des simulations sont analysées. Les valeurs moyennes, les distributions de probabilité et les erreurs (comme sur l'image) convergent avec une résolution croissante. Le résultat prend tout son sens et devient de plus en plus précis. (Graphique : S. Mishra)
De l'hypothèse au théorème mathématique
Récemment, son équipe a réalisé sur "Piz Daint" des simulations similaires d'un autre phénomène, appelé instabilité de Richtmeyer-Meshkov. Celle-ci est surtout connue en astrophysique, elle se produit lorsqu'une onde de choc rencontre l'interface entre deux courants différents. "Une telle instabilité est violente, un peu comme une explosion", explique Mishra. Une fois de plus, les simulations et les analyses de l'équipe ont montré que les solutions statistiques de nombreuses simulations convergent avec une résolution croissante, alors que les simulations individuelles sans convergence ne permettent pas d'aller bien loin.
"Gr?ce aux simulations informatiques, nous comprenons beaucoup mieux ce qui se passe", résume Mishra. "Nous avons pu vérifier notre hypothèse sur l'utilité des solutions statistiques et, ce faisant, développer une certaine intuition pour ces solutions. Mais maintenant, nous devons prendre du papier et un crayon pour prouver rigoureusement les mathématiques de notre hypothèse, c'est-à-dire établir un théorème basé sur les axiomes fondamentaux des mathématiques", ce qui est indispensable pour un mathématicien comme Mishra - une sorte de dernier niveau de vérité supérieur.
Références bibliographiques
S. Lanthaler, S. Mishra et C. Parés-Pulido : Solutions statistiques des équations d'Euler incompressibles, Math. Mod. Méth. Appl. Sci. 31 223-292 (2021), DOI : page externe10.1142/S0218202521500068
U.S. Fjordholm, K. Lye, S. Mishra and F. Weber : Statistical solutions of hyperbolic systems of conservation laws : Numerical approximation, Math. Mod. Méth. Appl. Sci. 30(3) 539-609 (2020), DOI : page externe10.1142/S0218202520500141
K.O. Lye, Computation of statistical solutions of hyperbolic systems of conservation laws, 2020, Thèse de doctorat de l'ETH no. 26728