Résoudre des problèmes avec intuition

En mathématiques, il existe deux types de chercheurs, explique Sarah Zerbes : "Les uns sont des théoriciens qui voient les choses dans leur ensemble", les autres se concentrent sur un problème à résoudre. "Je suis une résolveuse de problèmes", explique cette femme de 43 ans née en Allemagne, qui a été nommée professeure de mathématiques à l'ETH l'automne dernier. Les problèmes dont elle s'occupe sont liés à l'une des conjectures mathématiques les plus célèbres et les plus mystérieuses. Celle-ci a été formulée par les Britanniques Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer en 1965, après avoir passé des nuits entières à réaliser des expériences numériques sur l'unique ordinateur de l'université de Cambridge à l'époque. "Aujourd'hui, tout le monde pourrait faire ces calculs sur son ordinateur portable", explique Zerbes.

Birch et Swinnerton-Dyer (en abrégé BSD) n'ont pas pu prouver leur conjecture. Elle est devenue entre-temps l'un des sept grands problèmes mathématiques pour la résolution desquels une fondation a mis à disposition en 2000 un million de dollars US chacun. "Il s'agit d'une classe d'équations très importantes en mathématiques et également pour les applications dans la cryptographie", explique Zerbes : "Elles s'appellent les courbes elliptiques", pour lesquelles on aimerait trouver certaines solutions. "La conjecture BSD stipule que les solutions de ces équations sont déterminées par un objet qui, de manière surprenante, provient d'un tout autre domaine des mathématiques", poursuit la chercheuse, "à savoir le domaine des fonctions". Cet objet est ce qu'on appelle une fonction L analytique complexe.

Immense réseau de nouvelles suppositions

La conjecture BSD est l'un des principaux problèmes non résolus de la théorie des nombres. Mais elle a également ouvert un nouveau domaine de recherche. Ainsi, il existe désormais un vaste réseau d'autres conjectures. "Dans ce réseau, j'ai prouvé avec mon mari quelques nouveaux sous-problèmes", explique Zerbes. Elle collabore depuis de nombreuses années avec son mari, David Loeffler. Il est actuellement professeur invité à l'ETH Zurich en plus de son poste de professeur ordinaire à l'université de Warwick, au Royaume-Uni, et a sa place de travail dans le même bureau que son épouse dans le b?timent principal de l'ETH. "Ce n'est pas toujours facile, car il est très difficile de séparer la vie privée de la vie professionnelle. Il y a parfois des discussions enflammées", admet Zerbes : "Mais nous nous complétons très bien".

Contrairement à elle, son mari fait partie des formateurs de théorie qui s'intéressent à l'ensemble du tableau. "Il a une énorme bibliothèque dans la tête et peut comprendre et classer les choses directement". Elle est moins douée pour cela, dit la mathématicienne : "Mon point fort, c'est l'intuition". Les meilleures idées lui viennent quand elle est simplement assise et qu'elle boit un café. "Je me concentre, je réfléchis et j'attends l'inspiration", raconte-t-elle : "Je n'ai même pas besoin d'une feuille de papier pour cela". Ce n'est que plus tard qu'elle écrit son idée dans son carnet de notes ou sur le tableau mural de son bureau, en discutant beaucoup, en essuyant et en écrivant à nouveau. "Il faut toujours commencer par voir la grande structure, ensuite on passe à l'élaboration des détails, ce qui peut souvent prendre des années", explique la chercheuse. C'est ce qui s'est passé pour le couple Zerbes et Loeffler dans le cadre du travail lié à la présomption de BSD.

Huit ans avant la percée

"Nous avons passé les huit dernières années à développer de nouveaux exemples de systèmes dits d'Euler", raconte Zerbes. Ces systèmes, qui portent le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, sont des entités mathématiques très compliquées qui permettent de prouver de nouveaux cas de cette conjecture. Une fois une idée de base née, les deux hommes ont pu réaliser la première partie de leur programme en quelques années. "Mais ensuite, nous nous sommes retrouvés coincés", raconte Zerbes. Pendant des années, ils n'ont pas pu avancer, jusqu'à ce qu'ils s'envolent pour une conférence à Princeton, aux ?tats-Unis. "Là, un mathématicien de Lyon a présenté dans un exposé un outil à main qu'il avait développé pour quelque chose de tout à fait différent", raconte la chercheuse : "Mais c'était exactement ce qui nous manquait". Certes, les deux mathématiciens ont compris en quelques minutes que cela allait désormais marcher, mais quatre années supplémentaires se sont écoulées avec beaucoup de travail de détail. "L'année dernière, nous avons réussi à percer", conclut Zerbes : "Nous avons eu beaucoup de chance".

Le gain du million de dollars est toutefois hors de portée. Certes, il est possible de montrer que la conjecture BSD est effectivement valable dans certaines conditions. Mais il y a des cas pour lesquels personne ne sait aujourd'hui comment il serait possible de les craquer. "Nous non plus", dit Zerbes : "Nous ne prouvons pas non plus des parties de la conjecture originale, mais des parties d'une généralisation, et il y en a d'autres pour lesquelles il faudrait une idée entièrement nouvelle". Le prix n'est donc pas la motivation de leur recherche. "C'est le problème lui-même qui est si fascinant", dit la mathématicienne : "A quel point il est codé, à quel point les arguments sont compliqués, avec lesquels on peut peut-être faire des progrès, et à quel point il faut avoir de la chance".

En tant que théoricienne des nombres, elle se sent en outre liée à des générations de mathématiques. "Certains des problèmes sur lesquels mes collègues et moi travaillons étaient déjà étudiés par les Grecs anciens il y a 2000 ans", explique Zerbes. La théorie des nombres est l'un des plus anciens domaines des mathématiques. Il s'agit essentiellement d'équations comme la fameuse formule de Pythagore : x²+y²=z². La question est de savoir si l'on peut trouver des solutions à ces équations dans les nombres entiers ou rationnels. Avec Pythagore, on sait qu'il y a une infinité de nombres rationnels comme solutions et qu'ils décrivent les triangles rectangles avec les longueurs de c?tés x, y et z. Des équations plus compliquées ont occupé les mathématiciens pendant des siècles et d'autres thèmes se sont développés à partir d'elles, comme par exemple la conjecture BSD.

Apprendre le latin comme une langue vivante

A l'école, Zerbes ne s'est d'abord pas passionné pour les mathématiques, mais pour le latin. "Cette langue est incroyablement analytique et logique", explique Zerbes. Quelque chose qui la fascine encore aujourd'hui. "J'apprends maintenant le latin comme une langue moderne et parlée", explique-t-elle. A l'école, elle était dérangée par le fait que l'on traduisait toujours mot à mot et qu'elle n'était pas capable de lire un texte couramment, même après six ans de cours. Elle a maintenant trouvé un professeur qui enseigne le latin comme une langue vivante. "Les le?ons se déroulent exclusivement en latin, nous discutons et lisons les textes anciens, ce qui est très passionnant", dit-elle. Ce n'est que maintenant qu'elle se rend compte à quel point Cicéron écrivait de manière sarcastique, mais aussi dr?le.

L'élève ne s'est intéressée aux mathématiques que lorsqu'elle a obtenu un excellent professeur pendant six mois, à l'?ge de 14 ans. "Avant cela, je ne comprenais pas du tout les mathématiques, car tout était toujours emballé dans des t?ches matérielles", raconte Zerbes. Le nouveau professeur était excellent pour expliquer. "Clair, abstrait et précis", se souvient-elle. L'élève enthousiaste s'est ensuite procuré elle-même des livres de mathématiques à la bibliothèque lorsque le professeur a été remplacé. Après le baccalauréat, elle a posé sa candidature pour des études à l'université de Cambridge en Angleterre, mondialement connue, et a été acceptée. Elle y a également obtenu son doctorat. Plus tard, lorsqu'elle a été nommée professeure à l'University College de Londres, elle a invité le professeur qu'elle avait connu à l'école à donner sa le?on inaugurale. "Il est effectivement venu, ce qui m'a fait extrêmement plaisir", dit Zerbes : "Car son enseignement a fait la différence pour moi, depuis, les mathématiques sont un plaisir".

Entre-temps, la chercheuse a été récompensée à plusieurs reprises et compte parmi les plus grands spécialistes mondiaux de la théorie des nombres. En tant que femme dans un environnement dominé par les hommes, elle n'a jamais eu de problème pour s'imposer. Elle conna?t toutefois des collègues féminines qui ont été harcelées en raison de leur sexe. "En général, je n'ai pas eu de mauvaises expériences", dit-elle et ajoute : "Je perds mes cheveux depuis 35 ans, j'ai d? me faire une peau épaisse, cela n'a probablement pas nui non plus". Ou peut-être a-t-elle simplement eu de la chance.

Alpinisme et escalade sur glace

Le déménagement de l'Angleterre vers la Suisse a été facile pour Zerbes. "L'ETH est l'une des meilleures universités du monde", vante-t-elle : "Les conditions de travail et les étudiants sont excellents". De plus, une partie de sa famille vit dans le sud de l'Allemagne, et elle et son mari sont des alpinistes passionnés. "J'aime particulièrement grimper sur la glace", raconte Zerbes, "pour cela, nous sommes allés récemment à Scuol, en Basse-Engadine." Le couple passe la plupart de ses week-ends à la montagne, maintenant en hiver pour faire du ski, "pour avoir une autre vision dans la nature", dit la chercheuse, "parce que sinon on s'enfonce quand même beaucoup dans les problèmes mathématiques". Elle fait du sport presque tous les jours, elle nage et surtout fait beaucoup d'escalade. "Le sport est important pour moi comme compensation à la recherche", dit-elle.

Elle peut aussi se reposer en lisant. Sur son site Internet, on trouve une longue liste de livres qu'elle a aimés, dont des ?uvres comme "Buddenbrooks" de Thomas Mann, ou "The remains of the day" de Kazuo Ishiguro. "Il y a très peu de bons livres sur les mathématiques", dit Zerbes. Elle n'en recommande qu'un : "Roderers Er?ffnung" de Guillermo Martinez, un mathématicien et écrivain argentin. Le fait que les mathématiques ne soient guère accessibles au grand public ne dérange pas Zerbes. Et même les nombreuses difficultés qu'il faut surmonter, elle les surmonte volontiers et les raconte : Lors de son tout premier cours à Cambridge, un professeur a déclaré que la recherche en mathématiques était la plupart du temps amère et frustrante. On se heurte toujours aux mêmes problèmes, ce qui est très fatigant sur le plan émotionnel. Mais quand on réussit quelque chose, le sentiment est indescriptible. "Je dois souvent penser à cela", dit-elle : "C'est vraiment comme ?a".