A la frontière entre la physique et les mathématiques

"L'interaction entre la physique et les mathématiques m'a plu dès l'école secondaire", explique Sylvain Lacroix, qui est né et a grandi en région parisienne il y a 30 ans. "Apprendre des choses abstraites en mathématiques et voir qu'elles sont clairement mises en ?uvre en physique : C'est quelque chose qui m'a fasciné". Pendant ses études à l'?cole Normale Supérieure de Lyon, il aimait particulièrement s'intéresser de près aux questions de physique, derrière lesquelles se cachaient beaucoup de mathématiques, et lorsqu'il a d? choisir un sujet de thèse, il était clair qu'il devait être issu de ce domaine. ? l'époque, Lacroix a choisi d'étudier la théorie des modèles intégrables. Il est resté fidèle à ce thème jusqu'à aujourd'hui.

Le fait que le profane ne puisse rien imaginer sous le terme de "modèles intégrables" saute immédiatement aux yeux, même du spécialiste, et cela sonne presque comme une excuse lorsqu'il dit : "Je dois admettre que ce n'est sans doute pas le domaine le plus simple et le plus accessible de la physique". Il se donne d'autant plus de mal pour expliquer : "Pour nous, un modèle est une série de lois, c'est-à-dire un ensemble d'équations qui décrivent le comportement de certaines quantités, par exemple comment la position d'un objet change au fil du temps". Un modèle intégrable se caractérise par le fait que ces équations peuvent être résolues avec précision - ce qui est loin d'être évident.

Le mot clé : symétrie

Dans la physique actuelle, telle qu'elle est pratiquée par exemple au laboratoire européen de physique des particules CERN à Genève, les équations utilisées sont souvent si compliquées qu'elles ne peuvent être résolues que par approximation. Ces méthodes d'approximation fonctionnent souvent bien, par exemple lorsque l'interaction entre deux particules est faible. Mais dans d'autres cas, des calculs exacts sont nécessaires. C'est alors que les modèles intégrables entrent en jeu. Mais qu'est-ce qui les rend exacts ? "Là encore, je dois faire un peu de pédagogie", prévient Lacroix : "Le mot clé est la symétrie". La symétrie du temps ou de l'espace en est un exemple : une expérience de physique a le même résultat, qu'on la réalise aujourd'hui ou - dans les mêmes conditions - dans dix jours, et qu'elle se déroule à Zurich ou à New York. L'équation qui décrit l'expérience doit donc être invariante par rapport à un changement de moment ou de lieu. Cela se reflète dans la structure mathématique de l'équation, elle contient des conditions limites correspondantes. "Si nous avons suffisamment de symétries, il en résulte suffisamment de conditions limites pour que nous puissions simplifier l'équation jusqu'à obtenir des résultats précis", explique le physicien.

D'un point de vue mathématique, les modèles intégrables avec leurs solutions exactes sont très rares. "Si je prenais n'importe quelle équation, il serait extrêmement improbable qu'elle ait cette propriété de solvabilité exacte", explique Lacroix : "Mais dans la nature, nous trouvons effectivement de telles équations". Certaines décrivent par exemple le mouvement des ondes qui se propagent dans un canal, d'autres le comportement d'un atome d'hydrogène. "Mais pour mon travail, il n'y a pas forcément de telles applications pratiques", précise le chercheur : "Je ne regarde pas des modèles physiques concrets, mais j'étudie des structures mathématiques et j'essaie de trouver des approches générales pour construire de nouvelles équations aussi exactes". A long terme, certaines de ces formules pourraient peut-être trouver une application dans le monde physique, d'autres probablement pas.

Après sa thèse de doctorat, Lacroix a travaillé pendant trois ans comme post-doctorant à l'Université de Hambourg, avant de déménager à Zurich en septembre 2021. "Je n'ai pas de famille, ce changement a donc été assez facile", explique le chercheur. Il se réjouit de pouvoir rester cinq ans à l'ITS en tant qu'Advanced Fellow et de pouvoir se consacrer à ses recherches sans avoir à se soucier déjà de l'avenir. Certes, il est agréable de découvrir différents pays en tant que post-doctorant et il a jusqu'à présent volontiers continué à voyager. "Mais c'est aussi difficile de construire sa vie avec une certaine stabilité".

Une atmosphère agréable

La plupart du temps, le physicien théoricien travaille dans son bureau à l'ITS, qui se trouve dans une vénérable maison datant de 1882, non loin du b?timent principal de l'ETH. "Un très bel endroit", dit-il en regardant par la fenêtre les environs verdoyants et la ville : "Je me sens très bien ici, j'aime la vie à Zurich, l'atmosphère en général". Pendant son temps libre, il aime regarder un film, lire un livre ou rencontrer des amis. "J'aime sortir avec des gens dans un restaurant ou un café", dit-il, heureux d'avoir pris son poste à Zurich après l'assouplissement des mesures Covid.

"Je suis vacciné et nous sommes très prudents à l'ETH, mais même s'il y a encore des restrictions, la vie revient doucement. C'est pourquoi il m'a été facile de trouver d'emblée des contacts avec des collègues", explique Lacroix. Il considère l'environnement international de l'ITS, qui réunit des chercheurs du monde entier, comme un privilège particulier. Outre les séminaires au cours desquels les fellows présentent leur travail et l'échange d'idées professionnelles, les excursions communes sont une tradition. En automne 2021, Lacroix a participé pour la première fois à une randonnée au Flumserberg et déclare : "J'aime beaucoup la randonnée et c'est merveilleux d'avoir les montagnes si proches".

Mais en temps normal, il est assis à son pupitre et écrit des équations assez abstraites sur une feuille de papier. De temps en temps, l'ordinateur lui vient en aide. De nos jours, les ordinateurs ne font pas que calculer des chiffres, explique-t-il, ils peuvent aussi traiter des concepts mathématiques abstraits, ce qui est parfois très utile. Le fait que peu de gens comprennent vraiment ce que Lacroix met sur papier ne le dérange pas. "J'ai appris à vivre avec ?a", dit-il : "Je ne me sens pas du tout isolé dans la recherche, du moins pas dans le monde académique".

Mieux comprendre la théorie quantique des champs

Les modèles intégrables sont des modèles extrêmement symétriques, explique Lacroix. Les symétries jouent un r?le important en tant que principe fondamental dans la physique moderne, par exemple dans la théorie quantique des champs, la base théorique de la physique des particules, mais aussi dans la théorie des cordes, dont on espère qu'elle permettra de décrire de manière unifiée la physique des particules et la gravitation. Cette formule mondiale globale sera-t-elle un modèle intégrable ? "Ce serait évidemment bien, surtout pour moi", s'amuse le chercheur, avant de balayer d'un revers de main : "Il serait trop optimiste de croire que la théorie unificatrice finale de la physique a tellement de symétries qu'elle est totalement exacte".

Même si les équations étudiées par Lacroix n'expliquent pas directement le monde, il est néanmoins convaincu qu'elles peuvent contribuer à une meilleure compréhension des théories physiques. Les modèles dits "jouets", qui présentent des symétries particulièrement nombreuses, permettent de simplifier des équations extrêmement complexes dans la théorie quantique des champs. "Cela nous permet de mieux comprendre comment fonctionne la théorie, même si ces modèles sont trop na?fs pour le monde réel", explique Lacroix. Mais ce qui l'intéresse avant tout, ce sont les questions purement mathématiques que recèlent les modèles intégrables, et il avoue que ces formules le hantent parfois jusque dans ses rêves : "C'est difficile de se débarrasser de ce à quoi j'ai pensé toute la journée. Mais il ne m'est jamais arrivé de résoudre un problème mathématique en rêve - jusqu'à présent en tout cas".