Tutto è iniziato con un'idea di fisica

Alcuni spazi geometrici sfidano l'immaginazione immediata. Descriverli richiede più del linguaggio della vita quotidiana. Una persona che ha una brillante padronanza del linguaggio della geometria è l'americano Richard M. Schoen, professore all'Università di Stanford e all'Università della California, Irvine. L'ETH di Zurigo gli ha assegnato il Premio Heinz Hopf 2017 per i suoi "eccezionali e fondamentali contributi alla geometria differenziale e all'analisi geometrica".

L'ETH rende omaggio a un ricercatore che ha introdotto importanti tecniche matematiche e nuovi metodi nei campi della geometria differenziale e della relatività generale, all'interfaccia tra matematica e fisica. "La capacità di costruire ponti tra problemi apparentemente disparati è una delle abilità più sorprendenti di Richard Schoen", afferma Alessandro Carlotto. Il professore di matematica dell'ETH ha svolto un'intensa attività di ricerca all'ETH di Stanford con il suo supervisore di dottorato Richard M. Schoen - anche sulle equazioni di Einstein.

Insieme sono riusciti a sviluppare nuove soluzioni per le equazioni di campo di Einstein. Queste descrivono le forze di gravità nel quadro della teoria generale della relatività. "Le nostre soluzioni sono in completo accordo con gli assiomi della relatività generale, ma mostrano esplicitamente fenomeni che non sono presenti in nessun'altra classe di soluzioni delle equazioni di Einstein precedentemente conosciute", spiega Alessandro Carlotto.

I misteri della curvatura dello spazio

Schoen fa riferimento alla teoria generale della relatività anche quando gli viene chiesto quale sia la questione di ricerca che considera più affascinante della sua carriera: "La prova della congettura della massa positiva mi riempie di particolare orgoglio perché è di natura così fondamentale per le equazioni di Einstein", dice Schoen, "ed è un esempio di come possiamo usare un'idea fisica per risolvere uno straordinario problema matematico".

Per classificare i risultati scientifici di Richard M. Schoen, vale la pena dare un'occhiata alla storia: fin dal XIX secolo, la matematica ha sviluppato nuovi mezzi per descrivere le proprietà generali degli spazi geometrici, che sono molto più complessi delle superfici bidimensionali e degli spazi tridimensionali con cui le persone hanno familiarità nella vita quotidiana.

Due pionieri nello sviluppo di questo campo matematico sono stati Bernhard Riemann (1826 - 1866) e Albert Einstein (1879 - 1955). La geometria di Riemann, stabilita nel 1854, ha aperto la strada alla teoria generale della relatività presentata nel 1915. Heinz Hopf (1894 - 1971), da parte sua, ha dato ulteriori contributi fondamentali alla geometria riemanniana e alla forma globale degli spazi multidimensionali.

Come spiega Schoen, la geometria riemanniana si occupa di spazi curvi. Ad esempio, la superficie di una sfera - o una sfera - ha la geometria di una curvatura costante. Nel senso più semplice, la matematica intende la curvatura come la deviazione locale di una curva da una linea retta. Si possono poi introdurre diversi concetti di curvatura per uno spazio a più alte dimensioni, generalizzando lo studio delle superfici curve bidimensionali.

"Per gli spazi a più alta dimensione è molto più difficile determinare che tipo di metrica ci si può aspettare", dice Schoen. La matematica parla di metrica quando determina le distanze tra due elementi di uno spazio. Oggi la geometria riemanniana è una branca della geometria differenziale che analizza oggetti geometrici come una sfera, una sfera, una superficie o un toro (che assomiglia a una "ciambella")..

La teoria generale della relatività descrive l'interazione tra materia, spazio e tempo. Interpreta la gravità come una proprietà geometrica dello spazio-tempo curvo a quattro dimensioni. Le equazioni di campo di Einstein affermano che il modo in cui la materia si muove in una regione dello spazio-tempo è uguale al modo in cui lo spazio-tempo è curvato. Albert Einstein ha utilizzato la geometria differenziale per descrivere lo spazio-tempo curvo.

Le equazioni di Einstein motivano ancora

La ricchezza del lavoro di Riemann e di Einstein è dimostrata dal fatto che continua a motivare ulteriori domande di ricerca anche dopo Chi siamo. "Per questo motivo la loro esplorazione geometrica approfondita e lo sviluppo di nuove tecniche che ci permettano di generare soluzioni ancora più generali e sorprendenti alle equazioni di Einstein sono uno dei temi principali della mia ricerca attuale", afferma Carlotto.

Tuttavia, mentre un fisico costruisce un modello e lo rivede se necessario perché deve essere in accordo con i suoi dati e con il "quadro generale" della sua teoria, un matematico come Carlotto prende questo modello come dato e indaga le conseguenze logiche che ne derivano. "Non indago se la relatività generale sia il modo giusto per descrivere la gravità, ma la prendo come quadro di riferimento e cerco di vedere cosa ci dice su cose come i fenomeni cosmologici o le onde gravitazionali".

Schoen conclude: "Apprezzo la possibilità di pensare visivamente al mio lavoro. La fisica mi permette di guardare alla geometria in modo diverso, e fornisce nuove intuizioni e interpretazioni che possono portare a nuovi risultati matematici".