Den Anfang machte eine Idee aus der Physik

Manche geometrischen R?ume entziehen sich der unmittelbaren Vorstellungskraft. Sie zu beschreiben, erfordert mehr als eine Sprache des Alltags. Einer, der die Sprache der Geometrie blendend beherrscht, ist der Amerikaner Richard M. Schoen, Professor an der Stanford Universit?t und an der Universit?t von Kalifornien, Irvine. F¨¹r seine ?herausragenden und grundlegenden Beitr?ge zur Differentialgeometrie und zur Geometrischen Analysis? verleiht ihm die ETH Z¨¹rich den Heinz-Hopf-Preis 2017.

Das ETH-Mathematikdepartement zeichnet einen Forscher aus, der an der Grenze von Mathematik und Physik wichtige mathematische Techniken und neue Methoden im Gebiet der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativit?tstheorie einf¨¹hrte. ?Das Verm?gen, Br¨¹cken zu bauen zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Problemen, ist eine der verbl¨¹ffendsten F?higkeiten von Richard Schoen?, sagt Alessandro Carlotto. Der ETH-Professor f¨¹r Mathematik forschte in Stanford intensiv mit seinem Doktorvater Richard M. Schoen ¨C unter anderem ¨¹ber die Einstein-Gleichungen.

Zusammen gelang es ihnen, neuartige L?sungen f¨¹r die Einsteinschen Feldgleichungen zu erarbeiten. Diese beschreiben im Rahmen der Allgemeinen Relativit?tstheorie die Gravitationskr?fte. ?Unsere L?sungen stimmen mit den Axiomen der Allgemeinen Relativit?tstheorie vollst?ndig ¨¹berein, weisen aber explizit Ph?nomene auf, die in keiner anderen Klasse von bisher bekannten L?sungen der Einstein-Gleichungen vorhanden sind?, legt Alessandro Carlotto dar.

Die R?tsel der Raumkr¨¹mmung

Auch Schoen bezieht sich auf die Allgemeine Relativit?tstheorie, wenn man ihn fragt, welche Forschungsfrage er selbst f¨¹r die faszinierendste seiner Laufbahn h?lt: ?Mit besonderem Stolz erf¨¹llt mich der Beweis der Positiven-Masse-Vermutung, weil sie von einer derart grundlegenden Natur f¨¹r die Einstein-Gleichungen ist?, sagt Schoen, ?und es ist ein Beispiel, wie wir eine Idee aus der Physik heranziehen k?nnen, um ein ausserordentliches mathematisches Problem zu l?sen.?

Um Richard M. Schoens wissenschaftliche Leistungen einzuordnen, lohnt sich ein Blick in die Geschichte: Seit dem 19. Jahrhunderts entwickelten die Mathematiker neue Mittel, um die allgemeinen Eigenschaften von geometrischen R?umen zu beschreiben, die weit komplexer sind als zweidimensionale Fl?chen und dreidimensionale R?ume, die den Menschen vom Alltag her vertraut sind.

Zwei Wegbereiter der Entwicklung dieses mathematischen Gebiets waren Bernhard Riemann (1826 - 1866) und Albert Einstein (1879 - 1955). Die 1854 aufgestellte Riemannsche Geometrie ebnete einen Weg zur 1915 vorgestellten Allgemeinen Relativit?tstheorie. Heinz Hopf (1894 - 1971) seinerseits leistete weitere fundamentale Beitr?ge zur Riemannschen Geometrie und zur globalen Gestalt mehrdimensionaler R?ume.

Die Riemannsche Geometrie befasst sich, wie Schoen darlegt, mit gekr¨¹mmten R?umen. Zum Beispiel hat die Oberfl?che einer Kugel ¨C oder einer Sph?re ¨C die Geometrie einer konstanten Kr¨¹mmung. Unter einer Kr¨¹mmung verstehen Mathematiker in der einfachsten Bedeutung die jeweils lokale Abweichung einer Kurve von einer Geraden. Man kann dann verschiedene Begriffe der Kr¨¹mmung f¨¹r einen h?herdimensionalen Raum einf¨¹hren, wobei man das Studium der zweidimensionalen, gekr¨¹mmten Oberfl?chen verallgemeinert.

?F¨¹r h?herdimensionale R?ume ist es viel schwieriger, zu erfassen, welche Art von Metrik man erwarten kann?, sagt Schoen. Von einer Metrik sprechen die Mathematiker, wenn sie die Abst?nde zweier Elemente eines Raums ermitteln. Heute ist die Riemannsche Geometrie ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, die geometrische Objekte wie eine Kugel, eine Sph?re, eine Oberfl?che oder einen Torus (sieht aus wie ein ?Doughnut?) untersucht.

Die Allgemeine Relativit?tstheorie beschreibt die Wechselwirkung zwischen Materie, Raum und Zeit. Sie deutet die Gravitation als eine geometrische Eigenschaft der gekr¨¹mmten vierdimensionalen Raumzeit. Einsteins Feldgleichungen sagen aus, dass die Art, wie sich Materie in einem Gebiet der Raumzeit bewegt, gleich der Weise ist, wie die Raumzeit gekr¨¹mmt ist. Zur Beschreibung der gekr¨¹mmten Raumzeit wandte Albert Einstein Differentialgeometrie an.

Einstein-Gleichungen motivieren noch immer

Der Reichtum der Arbeiten Riemanns und Einsteins zeigt sich darin, dass sie auch nach ¨¹ber 100 Jahren zu weiteren Forschungsfragen motivieren. ?Wir haben noch immer kein vollst?ndiges Verst?ndnis dieser geometrischen R?ume, deshalb sind ihre vertiefte geometrische Erforschung und die Entwicklung neuer Techniken, mit denen man vielleicht noch allgemeinere und ¨¹berraschendere L?sungen f¨¹r die Einstein-Gleichungen erzeugen kann, ein Hauptthema meiner aktuellen Forschung?, sagt Carlotto.

W?hrend ein Physiker jedoch ein Modell konstruiert und gegebenenfalls revidiert, weil es mit seinen Daten und dem ?grossen Bild? seiner Theorie ¨¹bereinstimmen muss, nimmt ein Mathematiker wie Carlotto dieses Modell als gegeben an und untersucht, welche logischen Folgerungen sich daraus ergeben. ?Ich untersuche nicht, ob die Allgemeine Relativit?t die richtige Art und Weise ist, um die Gravitation zu beschreiben, sondern ich nehme sie als Rahmen und versuche zu sehen, was sie uns ¨¹ber Dinge wie kosmologische Ph?nomene oder Gravitationswellen sagt.?

Schoen schliesst: ?Ich sch?tze es, wenn ich visuell ¨¹ber meine Arbeit denken kann. Die Physik erlaubt mir eine andere Art, die Geometrie zu betrachten, und sie stellt neue Einsichten und Interpretationen bereit, die zu neuen mathematischen Resultaten f¨¹hren k?nnen.?