Tout a commencé par une idée issue de la physique

Certains espaces géométriques échappent à l'imagination immédiate. Les décrire nécessite plus qu'un langage de tous les jours. L'un de ceux qui ma?trisent de manière éblouissante le langage de la géométrie est l'Américain Richard M. Schoen, professeur à l'université de Stanford et à l'université de Californie, Irvine. Pour ses "contributions exceptionnelles et fondamentales à la géométrie différentielle et à l'analyse géométrique", l'ETH Zurich lui décerne le prix Heinz-Hopf 2017.

Le Département de mathématiques de l'ETH récompense un chercheur qui, à la frontière des mathématiques et de la physique, a introduit des techniques mathématiques importantes et de nouvelles méthodes dans le domaine de la géométrie différentielle et de la relativité générale. "La capacité de construire des ponts entre des problèmes apparemment éloignés les uns des autres est l'une des aptitudes les plus étonnantes de Richard Schoen", explique Alessandro Carlotto. Le professeur de mathématiques de l'ETH a mené des recherches intensives à Stanford avec son directeur de thèse Richard M. Schoen - notamment sur les équations d'Einstein.

Ensemble, ils sont parvenus à élaborer des solutions inédites pour les équations du champ d'Einstein. Celles-ci décrivent les forces gravitationnelles dans le cadre de la théorie de la relativité générale. "Nos solutions sont entièrement conformes aux axiomes de la relativité générale, mais elles présentent explicitement des phénomènes qui ne sont présents dans aucune autre classe de solutions des équations d'Einstein connues à ce jour", explique Alessandro Carlotto.

Les mystères de la courbure de l'espace

Schoen fait également référence à la relativité générale lorsqu'on lui demande quelle question de recherche il considère comme la plus fascinante de sa carrière : "Je suis particulièrement fier de la preuve de la conjecture de masse positive, car elle est d'une nature si fondamentale pour les équations d'Einstein", dit Schoen, "et c'est un exemple de la fa?on dont nous pouvons utiliser une idée de la physique pour résoudre un problème mathématique extraordinaire".

Pour situer les réalisations scientifiques de Richard M. Schoen, il vaut la peine de jeter un coup d'?il sur l'histoire : depuis le 19e siècle, les mathématiciens ont développé de nouveaux moyens pour décrire les propriétés générales d'espaces géométriques bien plus complexes que les surfaces bidimensionnelles et les espaces tridimensionnels que les gens connaissent bien dans leur vie quotidienne.

Deux précurseurs du développement de ce domaine mathématique ont été Bernhard Riemann (1826 - 1866) et Albert Einstein (1879 - 1955). La géométrie de Riemann, établie en 1854, a ouvert une voie à la théorie de la relativité générale présentée en 1915. Heinz Hopf (1894 - 1971) a quant à lui apporté d'autres contributions fondamentales à la géométrie riemannienne et à la forme globale des espaces multidimensionnels.

Comme l'explique Schoen, la géométrie riemannienne s'intéresse aux espaces courbes. Par exemple, la surface d'une sphère - ou d'une sphère - a la géométrie d'une courbure constante. Par courbure, les mathématiques entendent au sens le plus simple l'écart local d'une courbe par rapport à une droite. On peut alors introduire différentes notions de courbure pour un espace de dimension supérieure, en généralisant l'étude des surfaces courbes bidimensionnelles.

"Pour les espaces de dimension supérieure, il est beaucoup plus difficile de saisir le type de métrique auquel on peut s'attendre", explique Schoen. Les mathématiciens parlent de métrique lorsqu'ils déterminent les distances entre deux éléments d'un espace. Aujourd'hui, la géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle qui étudie des objets géométriques comme une sphère, une sphère, une surface ou un tore (qui ressemble à un "beignet")..

La théorie de la relativité générale décrit l'interaction entre la matière, l'espace et le temps. Elle interprète la gravitation comme une propriété géométrique de l'espace-temps courbe à quatre dimensions. Les équations de champ d'Einstein affirment que la manière dont la matière se déplace dans une région de l'espace-temps est égale à la manière dont l'espace-temps est courbé. Pour décrire l'espace-temps courbe, Albert Einstein a utilisé la géométrie différentielle.

Les équations d'Einstein motivent toujours

La richesse des travaux de Riemann et d'Einstein se traduit par le fait qu'ils continuent, plus d'un siècle après, à motiver des recherches. "Nous n'avons toujours pas une compréhension complète de ces espaces géométriques, c'est pourquoi leur orientation géométrique approfondie et le développement de nouvelles techniques qui permettront peut-être de produire des solutions encore plus générales et surprenantes aux équations d'Einstein sont un thème majeur de mes recherches actuelles", explique Carlotto.

Mais alors qu'un physicien construit un modèle et le révise éventuellement parce qu'il doit correspondre à ses données et à la "grande image" de sa théorie, un mathématicien comme Carlotto prend ce modèle pour acquis et examine quelles conclusions logiques en découlent. "Je n'examine pas si la relativité générale est la bonne manière de décrire la gravitation, mais je la prends comme cadre et j'essaie de voir ce qu'elle nous dit sur des choses comme les phénomènes cosmologiques ou les ondes gravitationnelles".

Schoen conclut : "J'apprécie de pouvoir penser à mon travail de manière visuelle. La physique me permet d'envisager la géométrie d'une autre manière, et elle fournit de nouvelles compréhensions et interprétations qui peuvent conduire à de nouveaux résultats mathématiques."