Du hasard de l'ordre
Vendredi, à Nymphenburg, Wendelin Werner, chercheur en probabilités à l'ETH, s'est vu décerner le prix Heinz Gumin, le prix de mathématiques le plus richement doté d'Allemagne. Quel est le rapport avec un voyage, le plan du réseau de lignes des transports publics et les sentiments humains ?
Un entretien avec Wendelin Werner ressemble à un voyage - et les chemins que ce voyage suit ont été tracés par le hasard. Son principal domaine de recherche est la théorie des probabilités, une branche des mathématiques qui s'intéresse aux événements aléatoires.
Wendelin Werner étudie entre autres les mouvements aléatoires, connus dans la littérature spécialisée anglaise sous le nom de "random walks" (errances), parce que leurs différentes étapes sont aléatoires. Ce qui intéresse particulièrement les théoriciens des probabilités comme Werner, ce sont les événements et les mouvements qui, bien qu'ils se succèdent de manière purement aléatoire à petite échelle, génèrent néanmoins à grande échelle une structure reconnaissable par l'homme dans le monde continu. Par exemple, à grande échelle, une errance devient ce que l'on appelle un mouvement brownien, que le botaniste écossais Robert Brown a été le premier à décrire en 1827.
Cela est étroitement lié à la question principale de la physique statistique, qui déduit des mouvements chaotiques et aléatoires d'innombrables particules microscopiques les règles macroscopiques qui permettent de décrire par exemple le comportement des gaz.
Justifier les propriétés des événements aléatoires
Pour ses "contributions pionnières à la justification mathématique des propriétés universelles du mouvement brownien avec des applications à des conjectures centrales de la physique statistique", Wendelin Werner a re?u vendredi le site externePrix Heinz Gumin pour les mathématiques de la fondation Carl Friedrich von Siemens.
Pour le professeur de mathématiques fran?ais, qui est à l'ETH Zurich depuis 2013 et qui a créé en 2006 la site externeMédaille Fields,En recevant ce prix, le plus important pour des mathématiques de moins de 40 ans, il exprime son estime pour la recherche fondamentale.
Pour Werner, l'accent n'est pas mis sur le calcul de la probabilité d'un événement isolé. Il étudie plut?t les structures mathématiques ou les propriétés générales qui résultent du passage d'événements aléatoires de la dimension micro à la dimension macro : "Ce qui m'intéresse, c'est ce qui se passe lorsque de très nombreux événements se produisent ensemble et qu'un nombre de probabilités indépendantes les unes des autres devient infiniment grand. Quelles structures globales se forment alors et quelles sont leurs propriétés" ?
De l'émotion à l'abstraction
Et puis il dit quelque chose qui peut surprendre : "Certaines personnes considèrent que les mathématiques, parce qu'elles sont très abstraites, sont le pur contraire du monde des émotions. Mais pour moi et pour beaucoup d'autres mathématiciens, c'est l'inverse : le monde mathématique, avec ses idées et ses concepts abstraits, se révèle à moi à l'aide de l'intuition et gr?ce au monde émotionnel. La créativité de chaque mathématicien est une condition préalable à la connaissance mathématique".
Selon lui, pour saisir une structure mathématique, il faut pouvoir l'observer sous différents angles et associer de manière individuelle et créative différentes idées et concepts : "Chaque mathématicien a - que ce soit en raison de son enfance, de son expérience ou de certaines stimulations du monde extérieur - une image différente d'une structure. Les structures développent une vie propre dans notre cerveau, car chaque mathématicien est différent, même si les définitions sont les mêmes pour tous".
Un réseau est aussi une structure
Pour expliquer la manière dont il parvient à la découverte d'une nouvelle idée mathématique, Werner reprend l'exemple du plan du réseau de lignes des entreprises de transport. Un tel plan de réseau représente de manière abstraite les stations, les liaisons et les points d'interconnexion d'un réseau de transport public. Mais il ne représente pas le choix d'itinéraire individuel d'une personne qui veut se rendre, par exemple, du b?timent principal de l'ETH Zurich à Zurich-Altstetten. Ce choix, chaque personne le fera individuellement, souvent sans regarder le réseau de lignes, mais en utilisant plut?t son expérience et ses souvenirs. En outre, diverses influences du monde extérieur, comme la météo, jouent un r?le. Et c'est ainsi que chaque personne choisit en peu de temps un trajet précis dans sa tête.
"Ce n'est pas très différent dans la pensée mathématique", dit Werner, "là aussi, on part en voyage et on doit voir comment relier au mieux les choses entre elles. Pour arriver au but, un mathématicien doit à la fois avoir une certaine idée globale intuitive du 'réseau de lignes' et prendre des décisions concrètes et précises".
Werner s'intéresse particulièrement aux événements qui peuvent être représentés par des images de type carte. Les déformations angulaires particulières des images (appelées images conformes) jouent alors un r?le important et relient son travail à d'autres domaines des mathématiques.
Au bord des probabilités
Un modèle concret qu'étudie Werner peut être décrit ainsi : Lorsqu'il y a des cellules immunes et des cellules infectées sur une surface et qu'il est encore question de savoir quelles cellules vont prendre le dessus, elles se répartissent sur certaines surfaces comme sur une carte géographique. Des lignes de démarcation se forment entre ces "territoires". Chaque partie infectée présente ainsi une bordure aux multiples dentelures. Même si celle-ci se forme de manière aléatoire, ses propriétés structurelles ainsi que sa "dimension fractale", qui décrit le nombre de dentelures qu'elle possède, peuvent être saisies mathématiquement. Cela permet de mieux comprendre ce processus d'infection.
Comme les mathématiques pratiquées par Wendelin Werner décrivent des structures globales et des propriétés universelles, de tels modèles peuvent être testés sur de nombreux exemples issus des sciences naturelles. "La physique et le monde empirique sont pour moi des sources d'inspiration permanentes", dit-il, "de cette manière, les mathématiques sont toujours liées à la réalité extérieure et à la réalité intérieure, émotionnelle".