Prova creativa con piccioni e scatole
Un principio può essere semplice, ma in matematica può essere una chiave per risolvere problemi impegnativi. Il principio della colombaia è una buona introduzione per gli studenti che vogliono conoscere il lato creativo della dimostrazione.
A volte la matematica è quasi come il calcio. Risolvere un problema difficile non è un'impresa solitaria, ma un lavoro di squadra che richiede creatività e tattica. Le cose si muovono rapidamente quando gli studenti delle scuole medie superiori si riuniscono per risolvere problemi di matematica all'ETH Math Youth Academy. Uno studente lancia un'idea nel cerchio, un secondo raccoglie la palla, suggerisce una soluzione, passa la palla all'altro giocatore e segna il gol: il problema è risolto.
I sette studenti stanno lavorando a una prova: un sabato sera c'è una festa in città a cui partecipano più di due persone. Come si può dimostrare che almeno due partecipanti hanno esattamente lo stesso numero di amici?
La soluzione si trova nel cosiddetto principio del piccione, formulato per la prima volta dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet nel 1834. Questo principio ha preso il suo nome perché può essere visualizzato utilizzando una colombaia.
Se quattro piccioni sono ospitati in una colombaia con tre scatole, allora ci devono essere almeno due piccioni in una scatola. Lo stesso vale se quattro perline sono distribuite in tre cassetti.
Il principio può essere generalizzato: ogni volta che gli oggetti vengono assegnati a determinati insiemi e ci sono più oggetti che insiemi, allora almeno un insieme deve contenere più oggetti.
Il principio della colombaia ha un'ampia gamma di applicazioni: Come metodo di prova, si è rivelato altrettanto utile in geometria quanto nella teoria dei numeri, nella combinatoria, nella teoria dei grafi (teoria delle reti), nella logica formale e persino nell'informatica teorica.
La bellezza del ragionamento congetturale
"Questo è il bello della matematica: si parte da un principio semplice e si arriva rapidamente a conclusioni sorprendenti e a risultati inaspettati", dice Kaloyan Slavov. Il ricercatore post-dottorando del Dipartimento di matematica conduce ricerche all'interno della geometria algebrica e organizza l'ETH Math Youth Academy.
L'ETH Math Youth Academy fa parte del programma di formazione del Centro nazionale di competenza per la ricerca "Matematica fisica" (NCCR SwissMAP), che promuove la ricerca, l'insegnamento e il trasferimento del sapere nel campo della matematica e della fisica teorica sotto la guida dell'Università di Ginevra e dell'ETH di Zurigo.
Immagini dell'Accademia della Gioventù di Matematica dell'ETH
Prove creative o cos'è il "piccione"?
Il principio della colombaia diventa presto una sfida anche per gli studenti della scuola secondaria. Devono applicarlo a un esempio di geometria: una retta interseca un triangolo in modo tale da non toccare nessuno dei suoi vertici. Come si può utilizzare il principio della colombaia per dimostrare che la retta non può intersecare tutti e tre i lati del triangolo?
In questo compito, gli studenti si rendono conto che la vera difficoltà del principio della colombaia sta nel capire quali elementi possono essere trattati come "colombe" e quali come "scatole" nei singoli casi. ? necessaria un'idea brillante prima di poter applicare il metodo della colombaia a un determinato problema.
Kaloyan Slavov vuole trasmettere questa intuizione agli studenti. Determinando da soli ciò che definiscono piccioni e scatole, imparano a pensare fuori dagli schemi quando risolvono i problemi e a usare i metodi di prova in modo creativo. Questa abilità è utile nei loro studi e in molte aree della matematica e della vita quotidiana. Lo stesso bulgaro ha studiato ad Harvard, Cambridge e al MIT.
Nell'esempio di geometria, la retta divide il piano di un triangolo in due semipiani. I punti corrispondono alle colombe e i semipiani alle scatole, in modo che un semipiano contenga due punti e l'altro solo uno. Il lato del triangolo che collega due vertici in un semipiano è quindi il lato non diviso dalla retta. Nell'esempio della festa, i partecipanti alla festa corrispondono ai piccioni e il numero di amici alle scatole.
La matematica non è solo una questione di numeri
L'ETH Math Youth Academy introduce approcci matematici tipici. Tutto ciò che gli studenti devono fare è impegnarsi nel pensiero creativo", afferma Kaloyan Slavov, aggiungendo: "La creatività è l'opposto della routine"."I suoi corsi si concentrano su problemi che non possono essere risolti con la routine, ma solo se si parte da un'idea creativa, si argomenta in modo sottile e logico e si conducono le prove in modo strettamente matematico.
La ricompensa, dice Slavov, viene dalla matematica stessa: "Le persone sono felici quando riconoscono l'ordine logico delle cose e vedono che le ragioni ipotizzate sono effettivamente vere".
15 studenti partecipano ai corsi per principianti e avanzati. A loro piacciono le lezioni di Kaloyan Slavov. Le lezioni sono entusiasmanti e per nulla "secche". Imparano a dimostrare le cose e a capire che la matematica non è solo un calcolo con i numeri. Sono sorpresi dalla varietà di applicazioni, metodi e strategie di soluzione.
"Il corso è fantastico", dice Yiqi del Realgymnasium R?mibühl. "Anche a Jonas di Wetzikon piace il lato creativo della dimostrazione: "Qui non si può risolvere un problema con un modello, bisogna trovare ogni volta una nuova soluzione".
